jzoj5433 【NOIP2017提高A组集训10.28】图

题面

有一个n个点A+B条边的无向连通图，有一变量x，每条边的权值都是一个关于x的简单多项式，其中有A条边的权值是k+x，另外B条边的权值是k-x，如果只保留权值形如k+x的边，那么这个图仍是一个连通图，如果只保留权值形如k-x的边，这个图也依然是一个连通图。
给出q组询问，每组询问给出x的值，问此时这个无向连通图的最小生成树权值是多少。
对于100%的数据，1<=n,q<=100000 , n-1<=A,B<=200000, 0<=k<=10^9 , -10^9<=v<=10^9

sol

samjam还是睡觉的时候想的题果然神乎其技
不难发现，答案应该是一个关于x的分段函数，那么最多有多少段呢？ 答案是B+1段。下面就来分析。

考虑到x无穷小的情况是全取正边，x无穷大的情况是全取负边。应该能猜到是负边一条条替换正边。
怎么替换呢？
首先要有一个显然的结论： 无论x取何值，正负边都只会选各自最小生成树里的。所以下文会将所有不在最小生成树里的边自动舍去。

当x取负无穷的时候，按照权值将边排序，是这样的：

当x慢慢增大，二者就会交在一起。 我们考虑负边中的某条边e(x,y)
记正边最小生成树上路径(x,y)中，k最大的边为t.
不难发现，当x增大到让e排在t的前面时，t就会被替换掉。而且无论x再怎么增大，t都不会再被替换回来（按顺序取边，t一定不会取到）。 那么这个替换点就是x=ke−kt2 也就是一个函数上的转折点。

又因为负边肯定不会替换k比他小的负边（一定不优），所以我们只需要从小到大加入负边，算出每一条负边替换掉他环中剩下的最大正边的时间点 ，并且将这条正边删掉。
（因为负边最终一定会替换正边,而被删掉的正边已经有k更小的负边来替换了。），
然后将这些时间点排序就可以了。每一段函数的斜率就是正边数-负边数。

最小生成树用lct维护，边权建成一个点。

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>#define halfup(x) ((x>>1)+(x&1))#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))using namespace std;typedef long long ll;const ll N = 1e5+10,M = 2e5+10,MX = 4e5+10,INF = 2e9;ll n,A,B,q,tot,Q;struct LCT{    ll ptot,fa[MX],c[MX][2],va[MX],mi[MX],rev[MX];    #define get(x) ((c[fa[x]][1]) == (x))    #define isroot(x) (fa[x]==0 || (c[fa[x]][0]!=(x)) && (c[fa[x]][1]!=(x)))    inline void update(ll x) {        mi[x]=x;        if (c[x][0] && va[mi[c[x][0]]]>va[mi[x]]) mi[x]=mi[c[x][0]];        if (c[x][1] && va[mi[c[x][1]]]>va[mi[x]]) mi[x]=mi[c[x][1]];    }    inline void putrev(ll x) {        if (x) rev[x]^=1; swap(c[x][0],c[x][1]);    }    inline void down(ll x) {        if (rev[x]) putrev(c[x][0]),putrev(c[x][1]),rev[x]=0;    }    ll Q[MX];    void downp(ll x) {        while (x) Q[++Q[0]]=x,x=fa[x];        while (Q[0]) down(Q[Q[0]--]);    }    void rotate(ll x) {        ll y=fa[x],z=get(x);        if (c[x][1-z]) fa[c[x][1-z]]=y;        c[y][z]=c[x][1-z];        if (!isroot(y)) c[fa[y]][get(y)]=x;        fa[x]=fa[y];        fa[y]=x;        c[x][1-z]=y;        update(y);    }    void splay(ll x) {        downp(x);        while (!isroot(x)) {            if (!isroot(fa[x]))                 if (get(x) == get(fa[x])) rotate(fa[x]);                else rotate(x);            rotate(x);        }        update(x);    }    void access(ll x) {        for (ll i=0; x; i=x,x=fa[x]) {            splay(x);            c[x][1]=i;            update(x);        }    }    void mkroot(ll x) {        access(x);        splay(x);        putrev(x);    }    ll gt(ll x) {        if (c[x][0]) return gt(c[x][0]);        else return x;    }    ll getroot(ll x) {        access(x);        splay(x);        return gt(x);    }} T;struct edge{    ll x,y;    ll k;    edge(ll x0=0,ll y0=0,ll k0=0) {        x=x0,y=y0,k=k0;    }} ez[M],ef[M],zmst[M],fmst[M];bool cmp(const edge& a,const edge& b) {return a.k<b.k;}ll totz,totf;ll f[N];ll gf(ll x) {return f[x]?f[x]=gf(f[x]):x;}char fff;int read(ll &x) {    int v=1;    while ((fff=getchar())<'0' || fff>'9') if (fff=='-') v=-1;    x=fff-'0'; while ((fff=getchar())>='0' && fff<='9') x=x*10+fff-'0';    x*=v;}void makeMST(edge *e,ll &tot,edge *mst) {    memset(f,0,sizeof f);    ll mtot=0;    for (ll i=1; i<=A; i++) {        ll u,v,w;        read(u),read(v),read(w);        e[++tot]=edge(u,v,w);    }    sort(e+1,e+1+tot,cmp);    for (ll j=1,fx,fy,js=0; js<n-1; j++) {        if ((fx=gf(e[j].x)) != (fy=gf(e[j].y))) {            f[fx]=fy, js++;            mst[++mtot]=e[j];        }    }}ll ptoe[MX],px[MX],py[MX];ll nowsum;void link(ll x,ll y,ll v,ll no) {    T.mkroot(x);    ll k; ptoe[k=++T.ptot]=no;    T.va[k]=v;    T.fa[x]=k,T.fa[k]=y;    px[k]=x,py[k]=y;}void cut(ll e) {    T.mkroot(px[e]);    T.access(py[e]);    T.splay(px[e]);    T.splay(T.c[T.c[px[e]][1]][0]);    T.fa[px[e]]=T.fa[py[e]]=0;    T.va[T.fa[px[e]]] = 23333+INF;}ll getMin(ll x,ll y) {    T.mkroot(x);    T.access(y);    T.splay(y);    return T.mi[y];}struct node{    double st;    ll v;    node(double st=0,ll v=0) {        this->st=st,this->v=v;    }    friend bool operator <(const node &a,const node &b) {return a.st<b.st;}} fun[M];ll ft;int main() {    freopen("graph.in","r",stdin);    freopen("graph.out","w",stdout);    cin>>n>>A>>B>>q;    for (ll i=1; i<=n; i++) T.va[i]=-INF;    T.ptot=n;    makeMST(ez,totz,zmst);    makeMST(ef,totf,fmst);    for (ll i=1; i<n; i++) {        link(zmst[i].x,zmst[i].y,zmst[i].k,i),nowsum+=zmst[i].k;    }    fun[++ft] = node(-INF,nowsum);    for (ll i=1; i<n; i++)  {        ll e = getMin(fmst[i].x,fmst[i].y), g = ptoe[e];        cut(e);        link(fmst[i].x,fmst[i].y,-INF,0);        fun[++ft] = node((fmst[i].k-zmst[g].k)/2.0,-zmst[g].k+fmst[i].k);    }    sort(fun+1,fun+1+ft);    for (ll i=2; i<=ft; i++) fun[i].v+=fun[i-1].v;    for (ll i=1; i<=q; i++) {        ll Q; read(Q);        ll l=1,r=ft,ans;        while (l<=r) {            if (fun[l+r>>1].st<=Q) {                ans=l=l+r>>1;                l++;            } else r=l+r>>1,r--;        }        printf("%lld\n",fun[ans].v+Q*(n-1-(ans-1)-(ans-1)));    }}