LeetCode：60. Permutation Sequence

LeetCode：60. Permutation Sequence

题目要求：
The set [1,2,3,…,n] contains a total of n! unique permutations.

By listing and labeling all of the permutations in order,
We get the following sequence (ie, for n = 3):

“123”
“132”
“213”
“231”
“312”
“321”
Given n and k, return the kth permutation sequence.

Note: Given n will be between 1 and 9 inclusive.
本题的主要思路来源于——康托编码：
一、康托展开：全排列到一个自然数的双射

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

适用范围：没有重复元素的全排列

二、全排列的编码：

{1,2,3,4,…,n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？

如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。

这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32

的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。（注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1）

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个，0*3!，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884，因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解释：排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!以此类推，直至0*0!
三、全排列的解码
如何找出第16个（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1，所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以排列为1 4 3 5 2
上面是对康托编码大致的介绍，下面附上代码（C++）：

class Solution {public:    string getPermutation(int n, int k) {        string s(n,'0');//形成n个0的字符串        string result;        for(int i = 0 ; i < n ; ++i)            s[i] += i+1;     //赋值，形成初始升序的字符串，即1,2,3,4,5...        return  kth_permutation(s,k);    }private:    int factorial(int n){        int result = 1;        for(int i = 1; i <= n;++i){            result *= i;        }        return result;    }        //阶乘函数    template <typename Sequence>    Sequence kth_permutation(const Sequence &seq, int k){        const int n = seq.size();        Sequence S(seq);        Sequence result;        int base = factorial(n-1);//计算阶乘        --k;        for(int i=n-1; i > 0; k %= base, base /= i,--i){//详看康托编码            auto a = next(S.begin(), k/base);            result.push_back(*a);            S.erase(a);        }        result.push_back(S[0]);        return result;    }};