第一章 习题课(略难)
一、函数
1.函数的概念
定义：设D⊂R,自变量x与因变量f(x)的对应关系。
f:D⟶f(D)⊂R
定义域值域
其中f(D)={y|y=f(x),x∈D}
2.函数的特性
有界性，单调性，奇偶性，周期性
3.反函数
设函数f:D→f(D)反函数为f −1 :f(D)→D
4.复合函数
给定函数链f:D 1 →f(D 1 )
g:D→g(D)⊂D 1
则复合函数为f⋅g:D→f[g(D)]
5.初等函数
有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数
例1.设函数f(x)={3x+1,x<1x,x≥1 ,求f[f(x)].
解：f[f(x)]={3f(x)+1,f(x)<1→x<0f(x),f(x)≥1→x≥0 =⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 9x+4,x<03x+1,0≤x<1x,x≥1
例2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数?为什么?
(1)y=1sinx−1 − − − − − − − √
(2)y=max(sinx,cosx),x∈[0,π2 ]
(3)y=arcsinu,u=2+x 2
解:(1)y=1sinx−1 − − − − − − − √ 不是
(2)y=max(sinx,cosx),x∈[0,π2 ]={cosx,0≤x≤π4 sinx,π4 <x≤π2 是函数
(3)y=arcsinu,u=2+x 2 不是
例3.下列函数是否是初等函数函数?为什么?
(1)f(x)={x,x≥0−x,x<0
(2)f(x)={−1,x<01,x>0
(3)f(x)={2,x<14,x>1
(4)f(x)={1−x 3 ,x>01+x 3 ,x≤0
解:
(1)f(x)={x,x≥0−x,x<0 =x 2 − − √
(2)f(x)={−1,x<01,x>0 =x 2 − − √ x ,x≠0
(3)f(x)={2,x<14,x>1 =3+(x−1) 2 − − − − − − − √ x−1 ,x≠1
(4)f(x)={1−x 3 ,x>01+x 3 ,x≤0 =1−x 6 − − √
第27讲
例4.设f(x)=e x 2 ,f[φ(x)]=1−x,且φ(x)≥0,求φ(x)及其定义域.
解：f[φ(x)]=e φ(x) 2 =1−x⟹φ(x)=±ln(1−x) − − − − − − − − √ ∵φ(x)≥0∴φ(x)=ln(1−x) − − − − − − − − √ 且ln(1−x)≥01−x≥1∴x≤0故φ(x)=ln(1−x) − − − − − − − − √ ,x∈(−∞,0]
例5.已知f(x)={x−3,x≥8f[f(x+5)],x<8 ,求f(5).
解：f(5)=f[f(5+5)]=f[f(10)]=f[10−3]=f(7)=f[f(7+5)]=f[12−3]=f[9]=9−3=6
例5.设f(sinx+1sinx )=csc 2 x−cos 2 x,求f(x).
解：f(sinx+1sinx )=csc 2 x−cos 2 x=1sin 2 x +sin 2 x−1=(sinx+1sinx ) 2 −3f(x)=x 2 −3
二、连续与间断
1.函数连续的等价形式
lim x→x 0 f(x)=f(x 0 )⟺lim Δx→0 Δy=0
(Δx=x−x 0 ,Δy=f(x 0 +Δx)−f(x 0 ))
⟺f(x + 0 )=f(x − 0 )=f(x 0 )
⟺∀ε>0,∃δ>0,当|x−x 0 |<δ时,有
|f(x)−f(x 0 )|<ε
2.函数间断点⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 第一类间断点{可去间断点跳跃间断点 第二类间断点{无穷间断点振荡间断点
3.闭区间上连续函数的性质
有界定理；最值定理；零点定理；介值定理。
例7.设函数f(x)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a(1−cosx)x 2 ,x<01,x=0ln(b+x 2 ),x>0 在x=0连续，则a= 2 − − − ,b= e − − −
解：lim x→0 − f(x)=lim x→0 − a(1−cosx)x 2 =lim x→0 − a(1−cos 2 x)x 2 (1+cosx) =lim x→0 − a(sin 2 x)x 2 (1+cosx) =lim x→0 − a(x 2 )x 2 (1+cosx) =lim x→0 − a(1+cosx) =a2 =f(0)=1∴a=2lim x→0 + f(x)=lim x→0 + ln(b+x 2 )=lim x→0 + ln(b)=f(0)=1∴b=e
例8.设函数f(x)=e x −b(x−a)(x−1) 有无穷间断点x=0及可去间断点x=1,试确定常数a及b.
解：∵x=0为无穷间断点，∴lim x→0 e x −b(x−a)(x−1) =∞⟹lim x→0 (x−a)(x−1)e x −b =a1−b =0a=0,b≠1又∵x=1为可去间断点,∴lim x→1 e x −b(x−a)(x−1) =lim x→1 1x ⋅lim x→1 e x −b(x−1) =lim x→1 e x −bx−1 =lim x→0 e⋅(e x −1)+e−bx =lim x→0 ex+e−bx =e+lim x→0 e−bx ∴b=e;且lim x→1 f(x)=e∴a=0,b=e另外，常数a、b带入原式：lim x→0 e x −b(x−a)(x−1) =lim x→1 e(e (x−1) −1)(x)(x−1) =lim x→1 ex ⋅lim t→0 (e t −1)t =e⋅1=e
例9.设f(x)的定义域在区间(−∞,+∞)上，且对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(x)在x=0连续，证明f(x)对于一切x都连续.
解：提示：lim Δx→0 f(x+Δx)=lim Δx→0 [f(x)+f(Δx)]=f(x)+f(0)=f(x+0)=f(x)
三、极限
1.极限定义的等价形式(以x→x 0 为例)
lim x→x 0 f(x)=A⟺lim x→x 0 [f(x)−A]=0
“ε−δ”(即α=f(x)−A为无穷小)
⟺f(x − 0 )=f(x + 0 )=A
⟺∀x n (x n ≠x 0 ),x n ⟶ n→∞ x 0 ,有lim n→∞ f(x n )=A
2.极限存在准则及极限运算法则
3.无穷小
无穷小的性质；无穷小的比较；
常用等价无穷小：
sinx∼x;tanx∼x;1−cosx∼12 x 2 ;arctanx∼x;arcsinx∼x;ln(1+x)∼x;e x −1∼x;a x −1∼xlna;(1+x) u −1∼ux;
4.两个重要的极限
lim x→0 sinxx =1
lim x→∞ (1+1x ) x =e
lim x→0 (1+x) 1x =e
5.求极限的基本方法
6.判断极限不存在的方法
例10.求下列极限.
(1)lim x→+∞ (sinx+1 − − − − − √ −sinx √ )
(2)lim x→1 1−x 2 sinπx
(3)lim x→0 (1+x1−x ) cotx
解：(1)lim x→+∞ (sinx+1 − − − − − √ −sinx √ )=lim x→+∞ 2sinx+1 − − − − − √ −x √ 2 cosx+1 − − − − − √ +x √ 2 =lim x→+∞ 2sin12(x+1 − − − − − √ +x √ ) cosx+1 − − − − − √ +x √ 2 =lim x→+∞ 212(x+1 − − − − − √ +x √ ) cosx+1 − − − − − √ +x √ 2 =lim x→+∞ 1(x+1 − − − − − √ +x √ ) cosx+1 − − − − − √ +x √ 2 =0(2)lim x→1 1−x 2 sinπx =lim x→0 1−(x+1) 2 sinπ(x+1) =lim x→0 −x(x+2)−sinπx =lim x→0 −x(x+2)−πx =lim x→0 (x+2)π =2π (3)lim x→0 (1+x1−x ) cotx =lim x→0 (1+x1−x ) 1tanx =lim x→0 (1+x1−x ) 1x =lim x→0 e(1−x) 1x =lim x→0 e(1+x) 1x ⋅(−1) [注:令t=−x]=ee −1 =e 2
例11.确定常数a,b,使lim x→∞ 1−x 3 − − − − − √ 3 −ax−b=0.
解：lim x→∞ 1−x 3 − − − − − √ 3 −ax−b=0lim x→0 1−(1x ) 3 − − − − − − − √ 3 −a1x −b=0lim x→0 x 3 −1 − − − − − √ 3 −ax −b=0lim x→0 x 3 −1 − − − − − √ 3 −a−bx=0⋅x=0−1−a=0a=−1lim x→∞ 1−x 3 − − − − − √ 3 −ax−b=lim x→∞ 1−x 3 − − − − − √ 3 +x−b=0b=lim x→∞ 1−x 3 − − − − − √ 3 +x∵a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 +ab+b 2 )b=lim x→∞ (1−x 3 − − − − − √ 3 ) 3 +x 3 (1−x 3 ) 2 − − − − − − − − √ 3 −x(1−x 3 − − − − − √ 3 )+x 2 b=lim x→∞ 1(1−x 3 ) 2 − − − − − − − − √ 3 −x(1−x 3 − − − − − √ 3 )+x 2 =0
