第一章 函数、极限、连续
1.2 关于极限的习题课
一、选择题
在每道小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，选出符合题目要求的选项.
例1.lim x→∞ (1+2x ) x =( A − − − − ).
A.e 2 ;B.e;C.sqrte;D.∞.
分析：利用重要极限公式可得：lim x→∞ (1+2x ) x =lim x→∞ [(1+1x2 ) x2 ] 2 =e 2
例2.lim x→0 (1−3x) 1x =( B − − − − )
A.e −13 ;B.e −3 ;C.e 13 ;D.e 3 .
解：令x=−13t lim x→0 (1−3x) 1x =lim t→−∞ [(1+1t ) t ] −3 =e −3
也可：lim x→0 (1−3x) 1x =lim x→0 {(1+(−3x)) 1−3x } (−3) =e −3
例3.lim x→0 tan2xx =( D − − − − ).
A.0;B.1;C.12 ;D.2
解1.利用重要极限公式与极限四则运算法则，lim x→0 tan2xx =lim x→0 (sin2xx ⋅1cos2x )=lim x→0 (2⋅sin2x2x ⋅1cos2x )=1×2×1=2
解2.利用等价无穷小量代换，当x→0时，tanx∼x,因此lim x→0 tan2xx =lim x→0 2xx =2
例4.lim x→0 tan3xsin4x =( C − − − − ).
A.0;B.∞;C.34 ;D.43 .
分析，利用等价无穷小量代换：当x→0时，tanx∼x,sinx∼x,可得lim x→0 tan3xsin4x =lim x→0 3x4x =34
例5.lim x→0 sin3xx =( D − − − − ).
A.0;B.13 ;C.1;D.3.
分析，利用等价无穷小量代换：当x→0时，sinx∼x,可得：lim x→0 sin3xx =lim x→0 3xx =3
例6.lim x→0 (e x −1) 2 cosx−1 =( D − − − − ).
A.∞;B.2;C.1;D.−2.
分析，利用等价无穷小量代换：当x→0是，e x −1∼x,1−cosx∼x 2 2 ,可得:lim x→0 (e x −1) 2 cosx−1 =lim x→0 x 2 −x 2 2 =−2
例7.极限lim x→∞ sin2xx =( A )
A.0;B.12 ;C.1;D.2.
分析，|sin2x|≤1有界，当x→∞时，1x 为无穷小,由“有界变量与无穷小之积仍为无穷小”的性质，可知，lim x→∞ sin2xx =lim x→∞ 1x ⋅sin2x=0
例8.当x→∞时，f(x)=xsin1x ( C ).
A.是无穷大量；B.是无穷小量;C.极限为1;D.没有极限.
分析，当x→∞是，sin1x 为无穷小量,将原式变形可得lim x→∞ xsin1x =lim x→∞ sin1x 1x =1
例9.当x→0时,ln(1+x)与x比较是( B )
A.高阶无穷小量;B.等价无穷小量;B.非等价的同阶无穷小量;C.低阶无穷小量.
分析，由无穷小量阶的定义可知，只需考察lim x→0 ln1+xx =lim x→0 xx =1可知当x→0时，ln(1+x)与为等价无穷小量,故选B
例10.设x和y分别是同一变化过车中的两个无穷大量，则x−y是( D )
A.无穷大量;B.无穷小量;C.常熟;D.不能确定.
分析，注意无穷大量布局别无穷小量的运算性质：即两个无穷大量之和不一定为无穷大，同样两个无穷大量只差不一定是无穷小量，例如：(1)当lim x→+∞ x 2 =+∞,lim x→−∞ |x|=+∞时，lim x→+∞ (x 2 −|x|)=lim x→+∞ |x|(|x|−1)=+∞.(2)当lim x→+∞ x 2 =+∞,lim x→+∞ (x 2 +1x )=+∞时，lim x→+∞ [x 2 −(x 2 +1x )]=lim x→+∞ (−1x )=0.(3)当lim x→+∞ x 2 =+∞,lim x→+∞ (x 2 −1)=+∞时，lim x→+∞ [x 2 −(x 2 −1)]=1.
二、填空题
例11.极限lim x→0 (1−2x) 3x = e −6 − − − − −
解：令z=−2x,当x→0时，z→0，lim x→0 (1−2x) 3x =lim z→0 (1+z) −6z =lim z→0 [(1+z) 1z ] −6 =e −6
例12.极限lim x→∞ (1−12x ) x = e −12 − − − − −
lim x→∞ (1−12x ) x =lim x→∞ (1+1(−2x) ) (−2x)⋅(−12 ) =lim x→∞ [(1+1(−2x) ) (−2x) ] (−12 ) =e 12
例13.极限lim x→0 sin2xx = 2 − − −
分析，由等价无穷小量代换：当x→0时，sinx∼x,可得lim x→0 sin2xx =lim x→0 2xx =2
例14.若lim x→2 x 2 −x+ax−2 =3,则a= −2 − − − −
设t=x−2,即x=t+2,x→2时，t→0，lim x→2 x 2 −x+ax−2 =3⟹lim t→0 (t+2) 2 −(t+2)+a(t+2)−2 =3⟹lim t→0 t 2 +3t+2+at =3⟹lim t→0 2+at =0⟹2+a=0⟹a=−2
例15.当x→0时，无穷小α=ln(1+Ax)与无穷小β=sin3x等价，则常熟A= 3 − − −
分析，显然，A≠0,由于lim t→0 ln(1+t)t =1,所以lim x→0 ln(1+Ax)sin3x =lim x→0 ln(1+Ax)Ax ⋅3xsin3x ⋅A3 =A3 =1∴A=3.
或者利用等价无穷小量代换求解：当x→0时，sinx∼x,ln(1+x)∼x,因此1=lim x→0 ln(1+Ax)sin3x =lim x→0 Ax3x =Ax3x =A3 ∴A=3
例16.lim x→0 sinxarcsinx = 1 − − −
分析，由等价无穷小量代换：当x→0时，sinx∼x,arcsinx∼x,因此lim x→0 sinxarcsinx =lim x→0 xx =1
例17.如果lim x→0 3sinkxx = 29 − − − −
分析，由等价无穷小量代换：当x→0时，sinx∼x,因此23 =lim x→0 3sinkxx =lim x→0 3kxx =3k∴k=29
例18.若x→a时，f(x)和g(x)是等价的无穷小，则lim x→a f 2 (x)g(x) = 0 − − −
分析，由等价无穷小量代换：当x→0时，sinx∼x,因此lim x→a f 2 (x)g(x) =lim x→a [(f(x)g(x) )⋅f(x)]=lim x→a f(x)=0(无穷小)
三、解答题
例19.求lim x→0 sin3xln(1−4x)
解：∵当x→0,sinx∼x;ln1+x∼x;∴当x→0,sin3x∼3x;ln1−4x∼−4x;∴lim x→0 sin3xln(1−4x) =lim x→0 3x−4x =−34
例20.求lim x→1 x 2 −3x+2x 2 −4x+3
解：lim x→1 x 2 −3x+2x 2 −4x+3 =lim x→1 (x−1)(x−2)(x−1)(x−3) =lim x→1 x−2x−3 =12
例21.求lim x→4 2x+1 − − − − − √ −3x−2 − − − − − √ −2 √
解：分析，当x→4时，分子、分母的极限都为0，不能直接用极限四则运算法则进行分式有理化lim x→4 2x+1 − − − − − √ −3x−2 − − − − − √ −2 √ =lim x→4 (2x+1 − − − − − √ +3)(2x+1 − − − − − √ −3)(x−2 − − − − − √ +2 √ )(x−2 − − − − − √ −2 √ )(x−2 − − − − − √ +2 √ )(2x+1 − − − − − √ +3) =lim x→4 2(x−4)(x−2 − − − − − √ +2 √ )(x−4)(2x+1 − − − − − √ +3) =lim x→4 2(x−2 − − − − − √ +2 √ )(2x+1 − − − − − √ +3) =2(4−2 − − − − √ +2 √ )(2×4+1 − − − − − − − √ +3) =22 √ 3
例22.求lim x→∞ (x+3x+1 ) x
解：lim x→∞ (x+3x+1 ) x =lim x→∞ [(1+1(x+1)2 ) (x+1)2 ⋅2 ]⋅[x+1x+3 ]=lim x→∞ [(1+1(x+1)2 ) (x+1)2 ⋅ ] 2 ⋅lim x→∞ x+1x+3 =e 2 ⋅1=e 2 另一种方式lim x→∞ (x+3x+1 ) x =lim x→∞ (1+3x ) x (1+1x ) x =lim x→∞ (1+1x3 ) x3 ⋅3 e =e 3 e =e 2
例23.求lim x→0 x 2 sin1x sinx
解：∵x→0⟹sinx∼x,并且sin1x 有界;∴lim x→0 x 2 sin1x sinx =lim x→0 x 2 sin1x x =lim x→0 xsin1x =0此处利用“有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量”性质求解
例24.求lim x→∞ 2x+sinx3x−sinx
解：lim x→∞ 2x+sinx3x−sinx =lim x→∞ 2+sinxx 3−sinxx =23
例25.求lim x→0 (xsin1x −sinxx )
解：∵x→0⟹sinx∼x,且sin1x 有界;lim x→0 (xsin1x −sinxx )=lim x→0 xsin1x −lim x→0 sinxx =0−1=−1
例26.求lim x→∞ (xsin1x −sinxx )
解：∵x→0⟹sinx∼x,即x→∞⟹sin1x ∼1x ;且sin1x 有界;lim x→∞ (xsin1x −sinxx )=lim x→∞ xsin1x −lim x→∞ sinxx =lim x→∞ sin1x 1x −0=lim 1x →0 sin1x 1x =1
例27.求lim n→∞ 2 n sinx2 n (n取自然数)
解：当n→∞时,x2 n →0,lim n→∞ 2 n sinx2 n =lim n→∞ 2 n x2 n =lim n→∞ x=x
例28.求lim x→∞ x 2 (1−cos1x )
解：当x→∞时,1x →0,由等价无穷小量代换可得lim x→∞ x 2 (1−cos1x )=lim x→∞ x 2 ((1x ) 2 2 )=12
