练习题2.1
一、选择题
1.函数导数是函数改变量与自变量改变量之比，当( D )趋于零时的极限.
A.自变量;B.函数;C.函数的改变量;D.自变量改变量
解：依据导数定义：f ′ (x 0 )=lim Δx→0 ΔyΔx ,可知选D
2.设函数f(x)在点x 0 处可导,则lim h→0 f(x 0 −2h)−f(x 0 )h 等于( A )
A.−2f ′ (x 0 );B.2f ′ (x 0 );C.−12 f ′ (x 0 );D.12 f ′ (x 0 )
解：lim h→0 f(x 0 −2h)−f(x 0 )h =−2lim (−2h)→0 f(x 0 +(−2h))−f(x 0 )(−2h) =−2f ′ (x 0 )
3.设函数y=f(x)可微,则当Δx→0时,Δy−dy与Δx相比较是( D ).
A.等价无穷小量;B.同阶但非零价无穷小量; C.低阶无穷小量;D.高阶无穷小量
解：由微分的定义可知，当y可微分时Δy=dy+o(Δx)因此lim Δx→0 Δy−dyΔx =lim Δx→0 o(Δx)Δx =0
4.曲线y=4+x4−x 在点(2,3)的切线的斜率是( B ).
A.−2;B.2;C.−1;D.1
解：y ′ =(4+x) ′ (4−x)−(4+x)(4−x) ′ (4−x) 2 =(4−x)+(4+x)(4−x) 2 =8(4−x) 2 y ′ ∣ ∣ (2,3) =8(4−2) 2 =2
5.下列函数中在点x 0 处连续但不可导的函数是( B )
A.1x ;B.|x|;C.x 2 ;D.lnx 2 .
解：可导必连续，连续不一定可导A.x=0没定义，不连续B.连续不可导C.连续可导，y ′ =2xD.x=0没有定义
二、填空题
1.y=21−2x −2x ,则y ′ = 4(1−2x) 2 +2x 2 − − − − − − − − − − − − − − −
解：y ′ =2(11−2x ) ′ −2(1x ) ′ =2⋅(−1)⋅(1−2x) −2 ⋅(1−2x) ′ −2⋅(−1)⋅x −2 =−2⋅1(1−2x) 2 ⋅(−2)+2x 2 =4(1−2x) 2 +2x 2
2.y=arctan1x,则dy= −1x 2 +1 dx − − − − − − − − − − − −
解：y ′ =11+(1x ) 2 ⋅(1x ) ′ =x 2 x 2 +1 ⋅(−1)1x 2 =−1x 2 +1
3.y=sinx,则y ′′′ ∣ ∣ x=π2 = 0 − − − .
解：y ′ =(sinx) ′ =cosxy ′′ =(cosx) ′ =−sinxy ′′′ =(−sinx) ′ −cosxy ′′′ ∣ ∣ x=π2 =−cosπ2 =0
4.已知函数f(x)=e x +3lnx,则f ′ (3)= e 3 +1 − − − − − − −
解：f ′ (x)=e x +3x f ′ (3)=e 3 +1
5.设y=ln(x+x 2 +1 − − − − − √ ),则y ′ = 1x 2 +1 − − − − − √ − − − − − − − − −
解：f ′ (x)=[ln(x+x 2 +1 − − − − − √ )] ′ =1x+x 2 +1 − − − − − √ ⋅(x+x 2 +1 − − − − − √ ) ′ =1x+x 2 +1 − − − − − √ ⋅[1+12x 2 +1 − − − − − √ (x 2 +1) ′ ]=1x+x 2 +1 − − − − − √ ⋅[1+2x2x 2 +1 − − − − − √ ]=1x+x 2 +1 − − − − − √ ⋅x 2 +1 − − − − − √ +xx 2 +1 − − − − − √ =1x 2 +1 − − − − − √
6.求曲线y=x 2 +x−1在点(1,1)处的切线方程为 3x−y−2=0 − − − − − − − − − − − − −
解：y ′ =2x+1y ′ ∣ ∣ x=1 =3y−1=3(x−1)3x−y−2=0
三、解答题
1.设y=1+x 2 − − − − − √ +cos 2 x,求dy.
解：y ′ =(1+x 2 − − − − − √ ) ′ +(cos 2 x) ′ =12 ⋅11+x 2 − − − − − √ (1+x 2 ) ′ +2cosx⋅(cosx) ′ =121+x 2 − − − − − √ (2x)+2cosx⋅(−sinx)=x1+x 2 − − − − − √ −2sinx⋅cosxdy=(x1+x 2 − − − − − √ −2sinx⋅cosx)dx
2.设y=xarccosx,求y ′′ (0)
解：y ′ =(x) ′ ⋅arccosx+x⋅(arccosx) ′ =arccosx−x1−x 2 − − − − − √ y ′′ =(arccosx) ′ −(x1−x 2 − − − − − √ ) ′ =−11−x 2 − − − − − √ −x ′ (1−x 2 − − − − − √ )−x(1−x 2 − − − − − √ ) ′ (1−x 2 − − − − − √ ) 2 =−11−x 2 − − − − − √ −(1−x 2 − − − − − √ )−x(121−x 2 − − − − − √ )(1−x 2 ) ′ (1−x 2 − − − − − √ ) 2 =−11−x 2 − − − − − √ −(1−x 2 − − − − − √ )−(x21−x 2 − − − − − √ )(−2x)(1−x 2 ) =−11−x 2 − − − − − √ −1−x 2 +x 2 (1−x 2 )(1−x 2 − − − − − √ ) =x 2 −1−1(1−x 2 )(1−x 2 − − − − − √ ) =x 2 −2(1−x 2 )(1−x 2 − − − − − √ ) y ′′ (0)=−2
3.设y=y(x)由x 2 lny+tany−e 2x =0确定,求dydx ∣ ∣ ∣ (0,π4 )
解：对方程两边求导得:(2xlny+x 2 1y y ′ )+[(cosy) −2 y ′ ]−2e 2x =0y ′ =2e 2x −2xlnyx 2 y +1cos 2 y dydx ∣ ∣ ∣ (0,π4 ) =2e 2⋅0 −2⋅0⋅lnπ4 0 2 π4 +1cos 2 π4 =2⋅(cosπ4 ) 2 =2⋅(2 √ 2 ) 2 =1
4.设y=lnsinx,求y ′′ .
解：y ′ =(lnsinx) ′ =1sinx (sinx) ′ =1sinx cosx=cosxsinx y ′′ =(cosxsinx ) ′ =(cosx) ′ ⋅sinx−cosx⋅(sinx) ′ (sinx) 2 =(−sinx)⋅sinx−cosx⋅(cosx)(sinx) 2 =−1sin 2 x
5.设y=e 2sin 2 x ，求dy
解：y ′ =e 2sin 2 x ⋅(2sin 2 x) ′ =e 2sin 2 x ⋅[2⋅2sinx⋅(sinx) ′ ]=4e 2sin 2 x sinxcosxdy=4e 2sin 2 x sinxcosxdx
6.设xy+lnx+lny=0确定y=y(x),求dydx ,d 2 ydx 2
解：对方程两边对x求导得：y+xy ′ +1x +1y y ′ =0dydx =y ′ =−yxy+1 ⋅xy+1x =−yx y ′ =−yx 两边对x求导得：y ′′ =−y ′ x−yx ′ x 2 =−−yx x−yx 2 =2yx 2 即d 2 ydx 2 =2yx 2
7.设y=(1x ) x ,求y ′ .
解：将函数两端取对数lny=xln1x =−xlnx将上式两端对x求导,可得：1y y ′ =−[x ′ lnx+x(lnx) ′ ]=−[lnx+x1x ]y ′ =−y(lnx+1)=−(lnx+1)(1x ) x
8.设y=xlnx ,求y ′ ,y ′′ .
解：y ′ =x ′ lnx−x⋅(lnx) ′ ln 2 x =1⋅lnx−x⋅1x ln 2 x =lnx−1ln 2 x y ′′ =(lnx−1) ′ ⋅ln 2 x−(lnx−1)⋅(ln 2 x) ′ ln 4 x =1x ⋅ln 2 x−(lnx−1)⋅2lnx(lnx) ′ ln 4 x =1x ⋅ln 2 x−2(ln 2 x−lnx)⋅1x ln 4 x =2−lnxxln 3 x
9.设f(x)=⎧ ⎩ ⎨ 1x sin 2 x,x≠00,x=0 ,求f ′ (π2 ),f ′ (0).
解：当x≠0时,f ′ (x)=(1x sin 2 x) ′ =(x −1 ) ′ sin 2 x+1x (sin 2 x) ′ =−1x 2 sin 2 x+2sinxx (sinx) ′ =−sin 2 xx 2 +2sinxcosxx f ′ (π2 )=−sin 2 π2 (π2 ) 2 +2sinπ2 cosπ2 (π2 ) =−4π 2 当x=0时,f ′ (0)=lim x→0 f(x)−f(0)x =lim x→0 1x sin 2 xx =lim x→0 sin 2 xx 2 =1
10.已知曲线方程为y=arccote x ,求点M(ln2,arccot2)处的切线方程与法线方程.
解：y ′ =−e x 1+(e x ) 2 y ′ ∣ ∣ x=ln2 =−e ln2 1+(e ln2 ) 2 =−21+2 2 =−25 切线方程：y−arccot2=−25 (x−ln2)2x+5y−5arccot2−2ln2=0法线方程：y−arccot2=52 (x−ln2)5x−2y+2arccot2−5ln2=0
11.已知曲线方程为y=x−1x ,求它与x轴交点处的切线方程.
解：与x轴交点,y=0,x=±1y ′ =x ′ −(x −1 ) ′ =1+1x 2 y ′ ∣ ∣ x=±1 =1+11 2 =2切线方程：y−0=2(x±1)2x−y±2=0
12.曲线方程y=x 32 有平行于直线y−3x−1=0的切线,求此切线方程.
解：y ′ =32 x √ =3x=4,y=4 32 =8切点(4,8),切线方程：y−8=3(x−4)3x−y−4=0
13.若f(x)是奇函数,且f ′ (0)=8.求lim x→0 f(x)x
解：lim x→0 f(x)x =12 lim x→0 f(x)−f(0)+f(x)+f(0)x =12 lim x→0 [f(x)−f(0)x +f(x)+f(0)x ]=12 [lim x→0 f(x)−f(0)x +lim x→0 −f(x)−f(0)−x ]=12 [lim x→0 f(0+x)−f(0)x +lim −x→0 f(0−x)−f(0)−x ]=12 [f ′ (0)+f ′ (0)]=f ′ (0)=8
14.设函数f(x)=(x−a)φ(x),已知φ(x)在x=a处连续,求f ′ (a).
解：f(a)=(a−a)φ(a)=0f ′ (a)=lim x→a f(x)−f(a)x−a =lim x→a (x−a)φ(x)−(a−a)φ(a)x−a =lim x→a φ(x)=φ(a)下面解法是错误的：f ′ (x)=[(x−a)φ(x)] ′ =(x−a) ′ φ(x)+(x−a)φ ′ (x)=φ(x)+(x−a)φ ′ (x)f ′ (a)=φ(a)出错原因是题目中没有给出函数φ(x)可导的条件
