算法导论16.2-2--动态规划（0-1背包问题）

转载出处：http://blog.csdn.net/luoshixian099/article/details/46572285

背包问题

小偷发现了n个商品，第i个商品重量为wi,价值为vi。小偷希望尽量拿走价值高的商品，但是他的背包只能容纳W重的商品。求如何取舍这些商品？ 
由于对一个商品，要么被拿走要么不被拿走，所以被称为0-1背包问题。 
我们如果采取枚举法进行比较，将会有2n个情况，算法复杂度与n呈指数关系。 
下面分析背包问题的性质：

动态规划

最优子结构

令xi=1,表示第i个商品被拿走，xi=0,表示第i个商品不被拿走。 
则问题变为求V=max∑ni=1xivi约束条件为∑ni=1xiwi≤W,求最大值的x1,x2,x3..xn解； 
对于第k个商品，决定是否装包，需要进行比较，如果拿装包即xk=1,求子问题V′=max∑ni=1xivi(i≠k),约束条件为∑ni=1xiwi(x≠k)≤W−wk。如果不装包，xk=0，V′′=max∑ni=1xivi(i≠k),约束条件不变∑ni=1xiwi(x≠k)≤W 。比较V′与V′′大小。

自底向上求解方案

算法复杂度为O(nW) 
令c[i][j]表示第1个商品到第i个商品中，背包容量为j的情况下，可获得的最大价值；

决定是否选择商品i的方案，比较选与不选的获得的价值 
c[i][j] = max(c[i-1][j] ,v[i]+c[i-1][j-w[i]]) 
例：

int w[]={0,3,6,3,8,6};//商品重量 第一数值为0，为了方便编程int v[]={0,4,6,6,12,10};//商品价值 第一数值为0，为了方便编程int W = 10; //背包容量int c[6][11]={0};//c[i][j]表示在商品1到i中，背包容量为j时，最大价值
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采用自底向上求解方案，先填写第一行c[1][j]，此时只有商品1可选，当j<w[1]时，背包容量小于商品1的大小，所以c[1][j] =0,当j≥w[1]时，背包内价值即为商品1的价值c[1][j] = v[1]=4; 
 
填写第二行：c[2][j],此时可选商品为1和2 。当j<w[2],商品2一定装不了，但可能装下商品1，所以即c[2][j] = c[1][j],当j≥w[2],此时可以装下商品2，如当j=6时，如果选择商品2，那么此时背包容量为j-w[2]=0，留给商品1用，而c[1][0]=0,所以背包价值为c[2][6]=v[2]+c[1][0];如果不选商品2，则c[2][6]=c[1][6]=4,比较大小得到，应该把商品2装包。即c[2][6]=v[2]+c[1][0]=6+0=6； 
又如:当j=10时，如果选择商品2，则背包容量还剩j-w[2]=4;而c[1][4]=4,此时背包总价值为c[2][10]=v[2]+c[1][4]=6+4=10;如果不选商品2，c[2][10] =c[1][10]=4;选取最大值即c[2][10]=10； 
 
按照上述方式自底向上填写表格： 

构造最优解

按照上面描述：如果c[i][j] = c[i-1][j],表明商品i没有被选择；否则就被选择 
从表格的右下端开始，即c[5][10]，回溯。 
如c[5][10]≠c[4][10]则商品5被选择，而此时背包容量j-w[5]=4;继续向上回溯，比较c[4][4]=c[3][4],表明商品4不选。回溯到第一个商品时，如果c[1][j]≠0,表明被装包；

完整代码

/************************************************************************CSDN 勿在浮沙筑高台 http://blog.csdn.net/luoshixian099算法导论--动态规划（0-1背包问题）2015年6月19日                    ************************************************************************/#include <iostream>using namespace std;#define max(a,b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))int w[]={0,3,6,3,8,6};//商品重量int v[]={0,4,6,6,12,10};//商品价值int W = 10; //背包容量int c[6][11]={0};//c[i][j]表示在商品1到i中，背包容量为j时，最大价值void Package0_1(int w[],int v[],int W,int n,int c[][11])//{    for(int i=1;i<=n;i++)          //逐行填表c[i][j]    {        for (int j=1;j<=W;j++)        {            if ( i == 1)       //填写第1行时，不参考其他行            {                if (j < w[i])                    c[i][j]=0;                else                    c[i][j] = v[i];            }            else            {                if ( j < w[i])  //背包容量小于商品i的重量，商品i一定不选                {                    c[i][j] = c[i-1][j];                }                else                {                    c[i][j] = max(c[i-1][j],v[i]+c[i-1][j-w[i]]);//比较选与不选商品i的背包总价值大小                }            }        }    }    for(int m =1;m<6;m++)    {        for (int n=0;n<11;n++)        {            cout<<c[m][n]<<"  ";        }        cout<<endl;    }}void Print_Package0_1(int c[][11])  //构造解{    int i=5;    int j=10;    cout<<"总价值为"<<c[i][j]<<endl;    while(i!=1)    {        if ( c[i][j] == c[i-1][j] )        {            cout<<"商品"<<i<<"不选"<<endl;        }        else        {            cout<<"商品"<<i<<"选"<<endl;            j = j - w[i];        }        i--;    }    if ( c[i][j] == 0)   //    {        cout<<"商品"<<i<<"不选"<<endl;    }    else    {        cout<<"商品"<<i<<"选"<<endl;    }}int main(){   Package0_1(w,v,W,5,c);   Print_Package0_1(c);   return 0;}
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