陈越《数据结构》第五讲 树（下）

5.1 堆（heap）(解决优先队列)

5.1.1 定义

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定义：
优先队列（Priority Queue）：特殊的“ 队列”，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字） 大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

即可认为：
每个加入队列的值有一定的意义（大小），进入队列没有规定，但是出队列要根据一定的意义（大小）出队列。

5.1.2 存储和特性

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主要考虑插入和删除所消耗的时间！

我们运用优先队列的 完全二叉树：

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特性：
1. 结构性：用数组表示的完全二叉树；
2. $\color{有序性** ： 任一结点 的关键字是其子树所有结点的最大值( 或最小值)
- “最大堆(MaxHeap)”, 也称”大顶堆”：最大值
- “最小堆 ( MinHeap)”, 也称”小顶堆”：最小值

5.1.3 堆抽象数据类型

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5.1.3.1插入

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5.1.3.2 删除

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5.1.4 总结

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1.了解堆的定义和结构；
2.会识别最大堆和最小堆，能做出相关习题；
3.编程（插入、删除、建立）。

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5.2 哈夫曼树(解决编码)

5.2.1 定义

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例：将百分制的考试成绩转换成五分制的成绩？

如何根据结点不同的查找频率构造更有效的搜索树？

带权路径长度(WPL) ： 设二叉树有n个叶子结点 ，每个叶子结点带有权值 wk ，从根结点到每个叶子结点的长度为 lk ，则每个叶子结点的带权路径长度之和就是：
WPL=∑ni=1wklk

哈夫曼树（最小二叉树）：WPL最小的二叉树。

5.2.2 构造与特点

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1.构造

1. 把数据从小到大进行排列（构造最小堆）；
2. 每次把 权值最小的两棵 二叉树（节点）合并。

2.特点

1. 没有度为1 的结点；
2. n个叶子结点的 哈夫曼树共有2n−1个结点 ；
3. 哈夫曼树的任意非叶节点的 左右子树交换 后仍是哈夫曼树 ；
4. 对同一组 权值{w1,w2,……,wn}，存在 不同构的两棵哈夫曼树。

例如：
对一组 权值{1,2,3,3}，可构成：不同构 的两棵哈夫曼树。

5.2.3 哈夫曼树编码

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1.引子
给定一段字符串，如何 对字符进行编码 ，可以使得该字符串的编码存储空间最少！

例：假设有一段文本，包含58个字符，并由以下7个字符构：a，e，i，s，t，空格（sp），换行（nl）；这7个字符出现的次数不同。如何对这7 个字符进行编码，使得总编码空间最少？

进行不等长编码需注意：
前缀码(prefix code)：任何字符的编码都不是另一字符编码的前缀。

用二叉树进行编码（编码代价最小）：
（1 ）左右分支：0、1；
（2 ）字符只在叶结点上。

2.习题

1. 为五个使用频率不同的字符设计哈夫曼编码，下列方案中哪个不可能是哈夫曼编码？
   A. 00，100，101，110，111
   B. 000，001，01，10，11
   C. 0000，0001，001，01，1
   D. 000，001，010，011，1

解析：A

判别是否是前缀码的算法

根据编码规则建立一个编码树，然后对于任何给定的要判断的码，起始结点设为根结点，读到一个0，转到左儿子，读到一个1，转到右儿子，直到读完，这时检查走到的结点是不是叶子结点~因为没有提到是最优编码，所以构成的编码树树不一定是哈夫曼树，该结点不必须由两个儿子。

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5.3 集合

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1. 集合运算： 交、并、补、差，判定 一个元素是否属于某一集合。
2. 并查集：集合 并、查找 某元素属于什么集合。
   
   • 可以 用 树结构 表示集合；
   • 采用数组存储形式。

1. 查找（返回根节点）
   

2. 并集合（一个根结点的父结点指针设置成另一个根结点 的数组下标）
   

5.4

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#include<stdio.h>#define MAXH 1001#define MINH -10001int H[MAXH],size;void Create(){    size = 0;    H[0] = MINH;    /*设置"岗哨"*/}void Insert(int X){    int i;    for(i=++size;H[i/2]>X;i/=2)        H[i] = H[i/2];    H[i] = X;}int main(){    int count,outCount,x,i,outNumb;    scanf("%d %d",&count,&outCount);    Create();    for(i = 0; i < count; i++)    {        scanf("%d",&x);        Insert(x);    }    for(i = 0; i < outCount ; i++)    {        scanf("%d",&outNumb);        printf("%d",H[outNumb]);        while(outNumb>1)        {            outNumb/=2;            printf(" %d",H[outNumb]);        }        printf("\n");    }    return 0;}