陈越《数据结构》第三讲 树（上）

3.1 树与树的表示

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3.1.1 引子：查找

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分层次组织在管理上具有更高的效率!

查找
1. 定义：
根据某个给定 关键字K ，从 集合R 中找出关键字与K 相同的记录。

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2.分类：
- 静态查找：集合中 记录是固定 的；
- 动态查找： 集合中 记录是动态变化的。

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3.静态查找的方法

• 方法1： 顺序查找（时间复杂度为O(n)）；
  //在数组的头部，建立哨兵和标记指针，可减少判断的分支。
  

• 方法2：二分查找(时间复杂度O(logN))。
  数据必须从小到大排列！
  

问：

在二分查找中，我们是取mid等于left和right的中间值，即用等分的方法进行查找。
那为什么一定要等分呐？能不能进行“黄金分割”？也就是mid=left+0.618(right-left),当然mid要取整数。如果这样查找，时间复杂性是多少？也许你还可以编程做个试验，比较一下二分法和“黄金分割”法的执行效率。

答：
二分法每次能有100%的概率能只剩50%的数据，每次剩下的期望为50%，即每次除以2。所以时间复杂度是:log2(N)。
而黄金分割的话每次都有0.618的概率剩0.618，0.382的概率剩0.382，每次剩下的期望为0.528，即1/0.528=1.894。所以时间复杂度是:log1.894(N)=1.085∗log2(N)。

3.1.2 树

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1. 定义：n（n≥0）个结点构成的有限集合。
   
   • 当n=0 时，称为 空树 ；
   • 树中有一个称为“ 根（Root ） ”的特殊结点， 用 r 表示；
   • 其余结点可分为m(m>0) 个 互不相交的 有限集，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“ 子树 （SubTree ）”。

2.树的性质

• 子树是 不相交 的 ；
• 除了根结点外， 每个结点有且仅有一个父结点 ；
• 一棵N 个结点的树有N-1 条边 。

3.树的基本术语
树是保证节点联通的最小的一种联通方式！

1. 结点的度（Degree ): 结点的 子树个数；
2. 树的度：树的所有结点中最大的度数;
3. 叶结点 （Leaf）: 度为0 的结点；
4. 父结点 （Parent ）:有子树的结点是其子树的根结点的父结点；
5. 子结点 （Child ）：若A 结点是B 结点的父结点，则称B 结点是A 结点的子结点；子结点也称 孩子结点 ；
6. 兄弟结点 （Sibling ）：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点;
7. 路径和路径长度：从结点n1 到nk的 路径 为一个结点序列n1,n2,…,nk,ni是ni+1 的父结点。路径所包含边的个数为 路径的长度 ;
8. 祖先结点(Ancestor) ：沿 树根到某一结点路径 上的所有结点都是这个结点的祖先结点;
9. 子孙结点(Descendant) ：某一结点的 子树中的所有结点 是这个结点的子孙;
10. 结点的层次（Level）：规定 根结点在1 层 ，其它任一结点的层数是其父结点的层数加1;
11. 树的深度（Depth） ：树中所有结点中的 最大层次 是这棵树的深 度。

4.树的表示

儿子-兄弟表示法
所需的总空间为3N(N为节点数)。

问：
树的集合称为森林。是否也可以使用“儿子-兄弟”表示法存储森林？如何实现？
答：
可以，不同树的根节点看成是这棵树的入口，各个树之间可以看做是兄弟节点。

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3.2 二叉树及存储结构

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3.2.1 二叉树

1. 二叉树的定义

   定义：一个有穷的结点集合。

   • 这个集合 可以为空；
   • 若不为空，则它是由 根结点 和称为其 左子树TL 和 右子树TR 的两个不相交的二叉树组成。

2. 特殊二叉树

   

3. 二叉树的性质

   • 一个二叉树第 i层的最大结点数为：2i−1 ，i≥1 。
   • 深度为k的二叉树有最大结点总数为： 2k−1，k≥1。
   • 对任何非空二叉树T，若n0 表示叶结点的个数、n2 是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系n0=n2+1 。

问：
讨论3.3： m叉树中各类结点数之间的关系：
在二叉树中，我们知道叶结点总数与有两个儿子的结点总数之间的关系是：
那么类似关系是否可以推广到m叉树中？也就是，如果在m叉树中，叶结点总数是，有一个儿子的结点总数是，有2个儿子的结点总数是，有3个儿子的结点总数是，…。那么，之间存在什么关系？
答：

4. 二叉树的抽象数据类型

• 
• 遍历又分为：
  先序、中序、后序和层次遍历。

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3.2.2 二叉树的存储结构

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1. 顺序存储(主要针对完全二叉树);

2. 链式存储

在此处再次说一说：
typedef struct PloyNode *Polynomial;//这句有什么用呢？
typedef struct PolyNode{//这两个typedef有什么联系吗？
int coef;
int expon;
Polynomial link;//这里是定义了一个相当于next后继指针吗？
}
如果按这样定义好了之后，如何定义一个这样的链表？

网上有一个经典的解释:
1. typedef struct PloyNode *Polynomial;
这句是说：定义了一个结构体变量的指针，以后你可以直接用Polynomial来代表struct PolyNode *这个数据.
2. typedef struct PolyNode{
int coef;
int expon;
Polynomial link; }
这个也是一个定义，定义了一个结构体变量，简化了结构体变量的定义。你可以用PolyNode来代表整个结构体变量。

再来说一下他们之间的联系: 第一个是定义的一个简化的指针变量：struct PolyNode * ; 第二个定义了一个简化的结构体变量PolyNode来代替：typedef struct PolyNode;

综上是否可理解为：指针变量Polynomial具有结构体PolyNode的结构,即L=(Polynomial)malloc(sizeof(PolyNode))这样就生成一个新的PloyNode结点。

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3.3 二叉树的遍历

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1.运用递归函数进行遍历

1. 先序遍历
   

2. 中序遍历
   

3. 后序遍历
   

4. 总结：

   • 三种遍历算法的遍历路径是一样的，只是访问各节点的时机不同。
     

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2.非递归遍历（使用堆栈）

问：
讨论3.4 如何用堆栈实现后序遍历的非递归程序？
我们前面看到，借助堆栈可以实现前序遍历、中序遍历的非递归程序，而且两者的程序结构几乎一样。
答：
不行，不能用前面同样的结构进行对比处理。
可以利用两个堆栈和一个指针进行处理。

3.层序遍历（使用队列）

问：
将层序遍历中的队列改为堆栈：
如果将层序遍历中的队列改为堆栈，是否也是一种树的遍历？可以应用这种方法改造出一种前序、中序、后序的非递归遍历吗？
答：
堆栈到队列：
就是把数据push到栈A，再把栈A的数据依次pop并push到栈B。那么先入栈A的数据就会移到栈B的顶部，对栈B进行pop时就会先出栈B。恰恰符合了队列的本质——First in First out。
队列到堆栈：
把数据都enqueue到队列A，如果你想取出最后一个enqueue的数据（即Last in），那么就把队列A的数据依次dequeue并enqueue到队列B，但是不能全部移到队列B，要留下一个。这一个就是你需要的数据把它dequeue出来，就会得到Lastin的数据。这个过程，相当于对栈进行了依次pop操作，符合——Last in First out。需要再次pop的时候，按照同样的方法，只需将对A、B的操作交换就可以了。

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4.二叉树的应用

例1：输出二叉树中的 叶子结点。

例2. 求二叉树的高度

例3. 由 任意两种 遍历序列确定二叉树，对么？（其中一个必须是中序遍历。）

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3.4 小白专场：树的同构

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程序：

//author: Paul-Huang//data: 18/6/2017#include<stdio.h>#include <stdlib.h>#include<process.h>//引入头文件#define MaxTree 10#define Null -1 #define  ElementType char #define  Tree int//建立动态链表struct TreeNode{    ElementType node;    Tree Left;    Tree Right;}Tree1[MaxTree],Tree2[MaxTree];Tree BuildTree(struct TreeNode T[]);int Isomprphic(Tree root1, Tree root2);int main(){    Tree R1, R2;    R1 = BuildTree(Tree1);    R2 = BuildTree(Tree2);    if (Isomprphic(R1, R2)){        printf("Yes\n");    }    else{        printf("No\n");    }    system("pause");//暂停往下执行 按下任意键继续    return 1;}Tree BuildTree(struct TreeNode T[]){    Tree check[MaxTree], Root = Null; //root = Null 空树则返回Null    char cl, cr;     int i,N;    scanf("%d\n",&N);    if (N) {        for ( i = 0; i < N; i++)            check[i] = 0;        //输入数值，并建立链表        for (i = 0; i < N; i++)        {            scanf("%c %c %c\n", &T[i].node, &cl, &cr);            if (cl != '-'){                T[i].Left = cl - '0';                check[T[i].Left] = 1;            }            else{                T[i].Left = Null;            }            if (cr != '-'){                T[i].Right = cr - '0';                check[T[i].Right] = 1;            }            else{                T[i].Right = Null;            }        }        //查找二叉树的根        for (i = 0; i < N; i++)            if (!check[i])                break;        Root = i;    }    return Root;}int Isomprphic(Tree root1, Tree root2){    if ((root1 == Null) && (root2 == Null))/* both empty */        return 1;    if (((root1 == Null) && (root2 != Null)) || ((root1 != Null) && (root2 == Null)))        return 0;/* one of them is empty */    if (Tree1[root1].node != Tree2[root2].node)        return 0; /* roots are different */    if ((Tree1[root1].Left == Null) && (Tree2[root2].Left == Null))        /* both have no left subtree */        return Isomprphic(Tree1[root1].Right,Tree2[root2].Right);    if ((Tree1[root1].Right == Null) && (Tree2[root2].Right == Null))        /* both have no right subtree */        return Isomprphic(Tree1[root1].Left, Tree2[root2].Left);    if ((Tree1[root1].Left != Null) && (Tree2[root2].Left != Null) &&        ((Tree1[Tree1[root1].Left].node) == (Tree2[Tree2[root2].Left].node)))        /* no need to swap the left and the right */        return (Isomprphic(Tree1[root1].Left, Tree2[root2].Left)&&        Isomprphic(Tree1[root1].Right,Tree2[root2].Right));    else/* need to swap the left and the right */        return (Isomprphic(Tree1[root1].Left, Tree2[root2].Right) &&            Isomprphic(Tree1[root1].Right, Tree2[root2].Left));}

#include<stdio.h>#include<iostream>#define MaxTree 10#define ElementType int#define Tree int #define Null -1struct TreeNode{    ElementType Element;    Tree left;    Tree right;}T[MaxTree];Tree BulidTree(struct TreeNode T[]);void FindLeave(Tree R);int main(){    Tree R;    R = BulidTree(T);    FindLeave(R);    //system("pause");//暂停往下执行 按下任意键继续    return 0;}Tree BulidTree(struct TreeNode T[]){    int i,N;    char cl,cr;    Tree check[MaxTree],Root = Null;    scanf("%d\n",&N);    for(i=0;i<N;i++)check[i] = 0;    if(N)    {        for(i=0;i<N;i++)        {            T[i].Element = i;            scanf("\n%c %c",&cl,&cr);            if(cl != '-')            {                T[i].left = cl - '0';                check[T[i].left] = 1;            }            else T[i].left = Null;            if(cr !='-')            {                T[i].right = cr - '0';                check[T[i].right] = 1;            }            else T[i].right = Null;        }        for(i=0;i<N;i++)            if(!check[i])break;        Root = i;    }    return Root;}void FindLeave(Tree R){    int leaves = 0;    int queue[MaxTree];    int front = 0,rear = 0;    queue[rear++] = R;    while(rear - front)    {        if((T[queue[front]].left != -1))             queue[rear++] = T[queue[front]].left;       //左边如果不为空，加入队列        if((T[queue[front]].right != -1))             queue[rear++] = T[queue[front]].right;      //右边如果不为空，加入队列        if((T[queue[front]].left == -1)&&            (T[queue[front]].right == -1))        {               if(leaves) printf(" ");            printf("%d",queue[front]);            ++leaves;        }                                   //左右两边为空，则是叶子节点，输出        front++;    }}