1166-敌兵布阵(树状数组)

http://www.cnblogs.com/justforgl/archive/2012/07/27/2612364.html

现在来说明下树状数组是什么东西？假设序列为A[1]~A[8]

网络上面都有这个图，但是我将这个图做了2点改进。

（1）图中有一棵满二叉树，满二叉树的每一个结点对应A[]中的一个元素。

（2）C[i]为A[i]对应的那一列的最高的节点。

现在告诉你：序列C[]就是树状数组。

那么C[]如何求得？

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]= A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

以上只是枚举了所有的情况，那么推广到一般情况，得到一个C[i]的抽象定义：

因为A[]中的每个元素对应满二叉树的每个叶子，所以我们干脆把A[]中的每个元素当成叶子，那么：C[i]=C[i]的所有叶子的和。

现在不得不引出关于二进制的一个规律：

先仔细看下图：

将十进制化成二进制，然后观察这些二进制数最右边1的位置：

1 --> 00000001

2 --> 00000010

3 --> 00000011

4 --> 00000100

5 --> 00000101

6 --> 00000110

7 --> 00000111

8 --> 00001000

1的位置其实从我画的满二叉树中就可以看出来。但是这与C[]有什么关系呢？

接下来的这部分内容很重要：

在满二叉树中，

以1结尾的那些结点（C[1],C[3],C[5],C[7]），其叶子数有1个，所以这些结点C[i]代表区间范围为1的元素和；

以10结尾的那些结点（C[2],C[6]），其叶子数为2个，所以这些结点C[i]代表区间范围为2的元素和；

以100结尾的那些结点（C[4]），其叶子数为4个，所以这些结点C[i]代表区间范围为4的元素和；

以1000结尾的那些结点（C[8]），其叶子数为8个，所以这些结点C[i]代表区间范围为8的元素和。

扩展到一般情况：

i的二进制中的从右往左数有连续的x个“0”，那么拥有2^x个叶子，为序列A[]中的第i-2^x+1到第i个元素的和。

终于，我们得到了一个C[i]的具体定义：

C[i]=A[i-2^x+1]+…+A[i]，其中x为i的二进制中的从右往左数有连续“0”的个数。

第03讲 利用树状数组求前i个元素的和S[i]

理解了C[i]后，前i个元素的和S[i]就很容易实现。

从C[i]的定义出发：

C[i]=A[i-2^x+1]+…+A[i]，其中x为i的二进制中的从右往左数有连续“0”的个数。

我们可以知道：C[i]是肯定包括A[i]的，那么：

S[i]=C[i]+C[i-2^x]+…

也许上面这个公式太抽象了，因为有省略号，我们拿一个具体的实例来看：

S[7]=C[7]+C[6]+C[4]

因为C[7]=A[7]，C[6]=A[6]+A[5]，C[4]=A[4]+A[3]+A[2]+A[1]，所以S[7]=C[7]+C[6]+C[4]

现在直接告诉你结论：2^x=i&(-i)

证明：设A’为A的二进制反码，i的二进制表示成A1B，其中A不管，B为全0序列。那么-i=A’0B’+1。由于B为全0序列，那么B’就是全1序列，所以-i=A’1B，所以：

i&(-i)= A1B& A’1B=1B，即2^x的值。

x 为 i 的二进制的最后一位1之后0的个数

假如 i=7 ，二进制0000 0111 ，那么x=0，s[7]=c[7]+c[7-2^0]+...

               i=6             0000 0110          x=1   s[7]=c[7]+c[7-2^0]+c[6-2^1]     

               i=4             0000 0100          x=2    s[7]=c[7]+c[7-2^0]+c[6-2^1]+c[4-2^2]

               s=c[7]+c[6]+c[4];

               i -= 4-2^2;  //不满足i>0的条件退出循环      

                

int Sum(int i) //返回前i个元素和

{

       int s=0;

       while(i>0)

       {

              s+=C[i];

              i-=i&(-i);

       }

       return s;

}

第04讲 更新C[]（更新原理同上）

正如第01讲提到的小石块问题，如果数组A[i]被更新了怎么办？那么如何改动C[]？

如果改动C[]也需要O(n)的时间复杂度，那么树状数组就没有任何优势。所以树状数组在改动C[]上面的时间效率为O(logn)，为什么呢？

因为改动A[i]只需要改动部分的C[]。这一点从第02讲的图中就可以看出来：

如上图：

假如A[3]=3，接着A[3]+=1，那么哪些C[]需要改变呢？

答案从图中就可以得出：C[3],C[4],C[8]。因为这些值和A[3]是有联系的，他们用树的关系描述就是：C[3],C[4],C[8]是A[3]的祖先。

那么怎么知道那些C[]需要变化呢？

我们来看“A”这个结点。这个“A”结点非常的重要，因为他体现了一个关系：A的叶子数为C[3]的2倍。因为“A”的左子树和右子树的叶子数是相同的。 因为2^x代表的就是叶子数，所以C[3]的父亲是A，A的父亲是C[i+2^0]，即C[3]改变，那么C[3+2^0]也改变。

我们再来看看“B”这个结点。B结点的叶子数为2倍的C[6]的叶子数。所以B和C[6+2^1]在同一列，所以C[6]改变，C[6+2^1]也改变。

推广到一般情况就是：

如果A[i]发生改变，那么C[i]发生改变，C[i]的父亲C[i+2^x]也发生改变。

这一行的迭代过程，我们可以写出当A[i]发生改变时，C[]的更新函数为：

void Update(int i,int value)  //A[i]的改变值为value

{

       while(i<=n)

       {

              C[i]+=value;

              i+=i&(-i);

       }

}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[10005];
int n;
int lowbit(int t)
{
    return t&(-t);
}
void insert(int t, int d)
{
    while(t<=n)
    {
        a[t]+=d;
        t+=lowbit(t);
    }
}
int getsum(int t)
{
    int sum = 0;
    while(t>0)
    {
        sum+=a[t];
        t-=lowbit(t);
    }
    return sum;
}
int main() {
    int T, i, j, k, t;
    scanf("%d", &T);
    t = 0;
    while(T--) {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        scanf("%d", &n);
        for(i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &k);
            insert(i, k);
        }
        char str[10];
        scanf("%s", str);
        printf("Case %d:\n", ++t);
        while(strcmp(str, "End") != 0) {
            int x, y;
            scanf("%d%d", &x, &y);
            if(strcmp(str, "Query") == 0) {
                printf("%lld\n", getsum(y) - getsum(x-1));
            }
            else if(strcmp(str, "Add") == 0) {
                insert(x, y);
            }
            else if(strcmp(str, "Sub") == 0) {
                insert(x, (-1) * y);
            }
            scanf("%s", str);
        }
    }
    return 0;
}