Fibonacci

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Problem Description

2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

 

Input

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

 

Output

            输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

 

Sample Input

012345353637383940

 

Sample Output

011235922714932415390863241023

 

Author

daringQQ

 

Source

Happy 2007

 

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一道数学题，首先已知斐波那契数列的通项公式：

an=1/√5 [（1/2+√5/2）^ n-（1/2-√5/2）^n](n=1,2,3.....）（√5表示根号 5）

即为：

又因为 log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)无限趋近于0，所以上述公式可写成

log10(F(n)) = log10(1/√5) +nlog10((1+√5)/2) 

又因为对数存在如下性质：

loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198

由上述性质可知，因为是要计算F(n)的值，如果超过四位，只需取前四位数字即可。则：

令tmp = log10(1/√5) +nlog10((1+√5)/2) 

F(n) = pow(10, tmp - floor(tmp)) 

为了方便我们计算出超过四位的前四位的F(n)，因为斐波那契数列的第22个数值（10946）才会超过4位，因此我们需要对数列的前20个数值单独通过斐波那契数列的性质计算出来：F(n)=F(n-1)+F(n-2)

code

#include <iostream>using namespace std;int main(){    int n;    int f[21] = { 0 };    double an1 = log10((1.0 / sqrt(5)));    double an2 = log10((1.0 + sqrt(5)) / 2.0);    f[0] = 0;    f[1] = 1;    for (int i = 2; i < 21; i++)    {        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];    }    while (cin >> n) // c++表明读到文件尾结束    {        if (n < 21)        {            cout << f[n] <<endl;        }        else        {            double tmp = an1 + n * an2;            tmp -= floor(tmp);            tmp = pow(10, tmp);            int result = tmp * 1000;            cout << result << endl;        }    }     return 0;}