188. Best Time to Buy and Sell Stock IV

这道是买股票的最佳时间系列问题中最难最复杂的一道，之前有一个是最多交易两次，和这个题的思路一样。还是需要用动态规划Dynamic Programming来解，而这里我们需要两个递推公式来分别更新两个变量local和global。我们定义local[i][j]为在到达第i天时最多可进行j次交易并且最后一次交易在最后一天卖出的最大利润，此为局部最优。然后我们定义global[i][j]为在到达第i天时最多可进行j次交易的最大利润，此为全局最优。它们的递推式为：

local[i][j] = max(global[i - 1][j - 1] + max(diff, 0), local[i - 1][j] + diff)

global[i][j] = max(local[i][j], global[i - 1][j])

由于只用到了i-1，所以可以用两个一维数组来替代，即：

local[i] = max(global[i-1] + max(diff, 0), local[i] + diff)

global[i] = max(global[i], local[i])

其中局部最优值是比较前一天并少交易一次的全局最优加上大于0的差值，和前一天的局部最优加上差值中取较大值，而全局最优比较局部最优和前一天的全局最优。

 但这道题还有个坑，就是如果k的值远大于prices的天数，比如k是好几百万，而prices的天数就为若干天的话，上面的DP解法就非常的没有效率，应该直接用Best Time to Buy and Sell Stock II 买股票的最佳时间之二的方法来求解，所以实际上这道题是之前的二和三的综合体，代码如下：

class Solution {public:    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {        if(prices.empty())  return 0;        if(k >= prices.size())  return solveMaxProfit(prices);        int g[k + 1] = {0};        int l[k + 1] = {0};        for(int i = 0; i < prices.size()-1; ++i){            int diff = prices[i + 1] - prices[i];            for(int j = k; j >= 1; --j){                l[j] = max(g[j - 1] + max(diff, 0), l[j] + diff);                g[j] = max(g[j], l[j]);            }        }        return g[k];    }    int solveMaxProfit(vector<int>& prices){        int res = 0;        for(int i = 1; i < prices.size(); ++i){            if(prices[i] - prices[i - 1] > 0){                res += prices[i] - prices[i - 1];            }        }        return res;    }};