Leetcode 188. Best Time to Buy and Sell Stock IV

188. Best Time to Buy and Sell Stock IV

Total Accepted: 34269 Total Submissions: 146381 Difficulty: Hard

Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most k transactions.

Note:
You may not engage in multiple transactions at the same time (ie, you must sell the stock before you buy again).

Credits:
Special thanks to @Freezen for adding this problem and creating all test cases.

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思路：

我们还是使用“局部最优和全局最优解法”。我们维护两种量，一个是当前到达第i天可以最多进行j次交易，最好的利润是多少（global[i][j]），另一个是当前到达第i天，最多可进行j次交易，并且最后一次交易在当天卖出的最好的利润是多少（local[i][j]）下面我们来看递推式，全局的比较简单，global[i][j]=max(local[i][j],global[i-1][j])，也就是去当前局部最好的，和过往全局最好的中大的那个（因为最后一次交易如果包含当前天一定在局部最好的里面，否则一定在过往全局最优的里面）。全局（到达第i天进行j次交易的最大收益） = max{局部（在第i天交易后，恰好满足j次交易），全局（到达第j-1天时已经满足j次交易）}对于局部变量的维护，递推式是local[i][j]=max(global[i-1][j-1]+max(diff,0),local[i-1][j]+diff)，也就是看两个量，第一个是全局到i-1天进行j-1次交易，然后加上今天的交易，如果今天是赚钱的话（也就是前面只要j-1次交易，最后一次交易取当前天），第二个量则是取local第i-1天j次交易，然后加上今天的差值（这里因为local[i-1][j]比如包含第i-1天卖出的交易，所以现在变成第i天卖出，并不会增加交易次数，而且这里无论diff是不是大于0都一定要加上，因为否则就不满足local[i][j]必须在最后一天卖出的条件了）。局部（在第i天交易后，总共交易了j次） =  max{情况2，情况1}情况1：在第i-1天时，恰好已经交易了j次（local[i-1][j]），那么如果i-1天到i天再交易一次：即在第i-1天买入，第i天卖出（diff），则这不并不会增加交易次数！【例如我在第一天买入，第二天卖出；然后第二天又买入，第三天再卖出的行为  和   第一天买入，第三天卖出  的效果是一样的，其实只进行了一次交易！因为有连续性】情况2：第i-1天后，共交易了j-1次（global[i-1][j-1]），因此为了满足“第i天过后共进行了j次交易，且第i天必须进行交易”的条件：我们可以选择1：在第i-1天买入，然后再第i天卖出（diff），或者选择在第i天买入，然后同样在第i天卖出（收益为0）。上面的算法中对于天数需要一次扫描，而每次要对交易次数进行递推式求解，所以时间复杂度是O(n*k)，如果是最多进行两次交易，那么复杂度还是O(n)。空间上只需要维护当天数据皆可以，所以是O(k)，当k=2，则是O(1)。

重复一遍：

local[i][j]：第i天完成第j次交易。

local[i][j] = Math.max(global[i - 1][j - 1] + Math.max(diff, 0), local[i - 1][j] + diff); // 可以同天买卖；最后一天卖了今天买卖那么可以归并为一次。 

global[i][j] = Math.max(global[i - 1][j], local[i][j]);

public class Solution {    public int maxProfit(int k, int[] prices) {        if (prices.length < 2) return 0;                int days = prices.length;        if (k >= days) return maxProfit2(prices);                int[][] local = new int[days][k + 1];        int[][] global = new int[days][k + 1];                for (int i = 1; i < days ; i++) {            int diff = prices[i] - prices[i - 1];                        for (int j = 1; j <= k; j++) {    //                 local[i][j] = Math.max(global[i - 1][j - 1] + Math.max(diff, 0), local[i - 1][j] + diff);                global[i][j] = Math.max(global[i - 1][j], local[i][j]);             }        }                return global[days - 1][k];    }            public int maxProfit2(int[] prices) {        int maxProfit = 0;                for (int i = 1; i < prices.length; i++) {            if (prices[i] > prices[i - 1]) {                maxProfit += prices[i] - prices[i - 1];            }        }                return maxProfit;    }}