递归

一、递归的定义

       当求解一个问题时，若是通过求解与它具有同样解法的、相对简化的子问题而得到的，这就是递归。一个递归的求解问题必然包含终止递归的条件，当满足一定条件时就终止继续向下递归，从而使最小问题不通过递归而解决，然后再依次返回解决较大的问题，最后解决整个问题。解决递归问题的算法称为递归算法，在递归算法中需要根据递归条件直接或间接地调用算法本身，当满足终止条件时结束递归调用。当然对于一些简单问题的递归问题，很容易把它转换为循环问题来解决，从而使编写出的算法更为有效。

二、递归应用举例

1、采用递归算法求解正整数n的阶乘（n!）.

       由数学知识可知，n的阶乘的递归定义为：它等于n乘以n-1的阶乘，即n！=n*（n-1）!，并且规定1和0的阶乘为1。设函数f( n )=n!,则f( n ) 可表示为：

                                                    f（n）=1                            （n=1或n=0）

                                                    f（n）=n*f（n-1）             （n>1）

用Java语言编写出求解n！的递归函数为：

public static long f(int n){if(n==1||n==0){return 1;}else{return n*f(n-1);}}

2、编写一个算法输出n个二进制位的所有可能的编码值。

      分析：每个二进制位取0和1两个值。根据题意，当n为1时有两个编码值0和1，当n为2时有4个编码值，依次为00、01、10、11，当n为3时有8个编码值，依次为000、001、010、011、100、101、110、111。总之，对于n个二进制位，所有可能的编码值为2^n个，每个编码值都有n位。

       n个二进制位的2^n种不同的编码值可以写做2*2^（n-1）,其中2^（n-1）个二进制位的所有编码值，每种包含n-1个二进制位。n个二进制位的每一种编码值是在n-1个二进制位的每个编码值的前面分别加上0或1而得到的结果，合起来正好是2*2^(n-1)=2^n种编码。由此可以看出它是一个递归的计算过程。

       设n个二进制位用一个整型数组b[n]来表示，要得到b[0]~b[n-1]这n个二进制位的每一种可能的编码，则要首先在b[0]被置0的情况下得到b[1]~b[n-1]这n-1个二进制位的每一种可能的编码，然后再b[0]被置1的情况下得到b[1]~b[n-1]这n-1个二进制位的每一种可能的编码；同理，要得到b[1]~b[n-1]这n-1个二进制位的每一种可能的编码，则要首先在b[1]被置0的情况下得到b[2]~b[n-1]这n-2个二进制位的每一种可能的编码，然后在b[1]被置1的情况下得到b[2]~b[n-1]这n-2个二进制位的每一种可能的编码；依次类推，直到最后一个二进制位b[n-1]被置0后输出整个数组值和被置1后输出整个数组值为止。

       下面是对b[0]~b[n-1]之间的n个二进制位输出其所有编码的递归算法，初始非递归调用时应把实参值0传送给形参k。

public static void coding(int b[],int k,int n){if(k==n){//终止递归，输出在b数组中排好的一个二进制数for(int i=0;i<n;i++){System.out.print(b[i]);}System.out.print(" ");}else{//把下标为k的元素置0后，从下标k-1起递归调用b[k]=0;coding(b,k+1,n);//把下标为k的元素置1后，从下标k+1起递归调用b[k]=1;coding(b,k+1,n);}}

       此算法在执行过程中需要被调用2^(n+1)-1次，其中有2^n次需要调用输出数组b中n个元素的值，所以算法的时间复杂度为O（n*2^n），该算法所使用的系统栈的最大深度为n+1,所以其空间复杂度我O（n），n为待编码的二进制位的个数。