【日更】矩阵方面的各种习题？
来源：互联网 发布：刀锋上的救赎 知乎 编辑：程序博客网 时间：2024/06/07 21:45
恩……大二小萌新。
老板说要开始系统的学算法了呢恩……。
我先把之前开的矩阵习题做完再说别的好了。
然后后面可能会有一些最近刚出的题……2017年的icpc什么的。
打算停止更新啦……需要用的dp啊递推啊什么的知识太多了，只凭着数学有点忙不过来，先去补点dp。
题目列表来自http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10251613
1.hdu 1005 矩阵基础题
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1005
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10251423
#include<stdio.h> #include<string.h>using namespace std;const int m=2; const int mod=7;struct matrix{ int x[m][m];};matrix mutimatrix(matrix a,matrix b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) for(int k=0;k<m;k++){ temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j]; temp.x[i][j]%=mod; } return temp;}matrix powmatrix(matrix a,int b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) temp.x[i][i]=1; while(b){ if(b%2==1) temp=mutimatrix(temp,a); a=mutimatrix(a,a); b=b/2; } return temp;}int main(){ int a,b,n; while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&n)!=EOF){ if(a==0 && b==0 && n==0) break; matrix st; st.x[0][0]=a; st.x[0][1]=1; st.x[1][0]=b; st.x[1][1]=0; st=powmatrix(st,n-1); printf("%d\n",(st.x[0][1]+st.x[1][1])%mod); } return 0;}2.hdu 1575 矩阵基础题
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1575
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10122331
#include<stdio.h> #include<string.h>using namespace std;int m;const int mod=9973;struct matrix{ int x[10][10];};matrix mutimatrix(matrix a,matrix b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) for(int k=0;k<m;k++){ temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j]; temp.x[i][j]%=mod; } return temp;}matrix powmatrix(matrix a,int b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) temp.x[i][i]=1; while(b){ if(b%2==1) temp=mutimatrix(temp,a); a=mutimatrix(a,a); b=b/2; } return temp;}int main(){ int T; scanf("%d",&T); while(T--){ matrix st; int n,k; scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) scanf("%d",&st.x[i][j]); m=n; st=powmatrix(st,k); int sum=0; for(int i=0;i<n;i++) sum+=st.x[i][i]; printf("%d\n",sum%mod); } return 0;}3.hdu 1757 矩阵基础题
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1757
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10122695
#include<stdio.h> #include<string.h>using namespace std;const int m=10;int mod;struct matrix{ int x[m][m];};matrix mutimatrix(matrix a,matrix b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) for(int k=0;k<m;k++){ temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j]; temp.x[i][j]%=mod; } return temp;}matrix powmatrix(matrix a,int b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) temp.x[i][i]=1; while(b){ if(b%2==1) temp=mutimatrix(temp,a); a=mutimatrix(a,a); b=b/2; } return temp;}int main(){ int n; while(scanf("%d%d",&n,&mod)!=EOF){ matrix st; for(int i=0;i<10;i++) for(int j=0;j<10;j++) st.x[i][j]=0; for(int i=0;i<=9;i++) scanf("%d",&st.x[0][i]); st.x[1][0]=st.x[2][1]=st.x[3][2]=st.x[4][3]=st.x[5][4]=st.x[6][5]=st.x[7][6]=st.x[8][7]=st.x[9][8]=1; st=powmatrix(st,n-9); printf("%d\n",(9*st.x[0][0]+8*st.x[0][1]+7*st.x[0][2]+6*st.x[0][3]+5*st.x[0][4]+4*st.x[0][5]+3*st.x[0][6]+2*st.x[0][7]+st.x[0][8])%mod); } return 0;}4.poj 3734 找出递推关系，然后用矩阵加速
题目链接：http://poj.org/problem?id=3734
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10240251
#include<stdio.h> #include<string.h>using namespace std;const int m=3;const int mod=10007;struct matrix{ int x[m][m];};matrix mutimatrix(matrix a,matrix b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) for(int k=0;k<m;k++){ temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j]; temp.x[i][j]%=mod; } return temp;}matrix powmatrix(matrix a,int b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) temp.x[i][i]=1; while(b){ if(b%2==1) temp=mutimatrix(temp,a); a=mutimatrix(a,a); b=b/2; } return temp;}int main(){ int T; scanf("%d",&T); while(T--){ int n; scanf("%d",&n); matrix st; st.x[0][0]=2; st.x[0][1]=1; st.x[0][2]=0; st.x[1][0]=2; st.x[1][1]=2; st.x[1][2]=2; st.x[2][0]=0; st.x[2][1]=1; st.x[2][2]=2; st=powmatrix(st,n); printf("%d\n",st.x[0][0]%mod); } return 0;}5.poj 2888 较难题，需要用到置换(burnside引理)，欧拉phi函数，最后用矩阵加速
题目链接：http://poj.org/problem?id=2888
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10239295
6.poj 3420 dp+矩阵(相关的有poj2663，poj2411)
题目链接：http://poj.org/problem?id=3420
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10218563
这可能是我做的第一道比较难……对不起，至少不是基础题的矩阵题，置于前面那道矩阵+Burnside引理+欧拉函数+不动点的例题……恩……等我什么时候脑子清楚了再说，刚开始练习矩阵的时候被板子坑的不行。
然后这道题其实就是一个递推，非要说dp的话其实也不用。
首先尝试用递推解法来解。我们首先用手模拟画出4*2,4*3,4*4,4*5以及4*6的不可分割的矩阵。令a[n]表4*n规模的矩阵的摆放骨牌总数，b[n]表示4*n规模的不可分割的矩阵个数。
我们会发现a[1]=b[1]=1，b[2]=4，并且当n>=3时有以下规律：
当n为奇数时：b[n]=2
当n为偶数时：b[n]=3
然后按照递推关系可得公式：a[n]=a[n-1]*b[1]+a[n-2]*b[2]+…a[1]*b[n-1]+a[0]*b[n]
又因为b[n]=b[n-2]=b[n-4]=…
b[n-1]=b[n-3]=b[n-5]=…
所以上面推出的公式有把无限项消掉的可能。
由公式得：a[n-2]=a[n-3]*b[1]+a[n-4]*b[2]+…a[1]*b[n-3]+a[0]*b[n-2]
将两个式子相减可得a[n]-a[n-2]=b[1]*a[n-1]+b[2]*a[n-2]+(b[3]-b[1])*a[n-3]+(b[4]-b[2])*a[n-4]
然后我们把b[1]，b[2]，b[3]，b[4]代进去。
得到递推公式：a[n]=a[n-1]+5a[n-2]+a[n-3]-a[n-4]
说是需要用轮廓线dp验证一下可是我就是因为不会轮廓线dp才用的递推嘛。
然后就是很正常的四阶矩阵了。
下面ac代码。
不得不说我在结果那边wa了很久因为结果有可能是负的需要加个mod再模mod。
然后改了又wa了因为1%1=0，我当时下意识1是直接输出的。
总之，很烦。
#include<stdio.h> #include<string.h>using namespace std;const int m=4;int mod;struct matrix{ int x[m][m];};matrix mutimatrix(matrix a,matrix b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) for(int k=0;k<m;k++){ temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j]; temp.x[i][j]%=mod; } return temp;}matrix powmatrix(matrix a,int b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) temp.x[i][i]=1; while(b){ if(b%2==1) temp=mutimatrix(temp,a); a=mutimatrix(a,a); b=b/2; } return temp;}int main(){ int n; while(scanf("%d%d",&n,&mod)!=EOF){ if(n==0&&mod==0) break; if(n==1) printf("%d\n",1%mod); else if(n==2) printf("%d\n",5%mod); else if(n==3) printf("%d\n",11%mod); else{ matrix st; for(int i=0;i<4;i++) for(int j=0;j<4;j++) st.x[i][j]=0; st.x[0][0]=1; st.x[0][1]=5; st.x[0][2]=1; st.x[0][3]=-1; st.x[1][0]=st.x[2][1]=st.x[3][2]=1; st=powmatrix(st,n-3); printf("%d\n",((11*st.x[0][0]+5*st.x[0][1]+st.x[0][2]+st.x[0][3])%mod+mod)%mod); } } return 0;}7.zoj 3690 递推+矩阵
题目链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3690
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/8742961
之前矩阵做了几道题思路被限制住了……因为每次都是推的单一数列的递增关系，然后碰到有关联的两组数列就不知道怎么弄了……我的锅。
然后题目的意思是有n个人，m个数和一个k，现在每个人可以选择一个数，但是要求如果相邻的两个人选择相同的数，那么这个数要大于k。
假设F(n)表示前n个人第n个人选择的数大于k的个数，G(n)表示的是前n个人第n个人选择的数小于等于k的个数，那么F(n) = F(n-1) x (m-k)+G(n-1) x (m-k) , G(n) = F(n-1) x k+G(n-1) x (k-1) , 最后的结果就是F(n)+G(n)。（里面的x就是乘……两个*会自动转化成斜体我也很无奈。）
前面递归写出来都是an，an-1用矩阵和an-1，an-2表示的对吧，然后这题是F(n),G(n)用矩阵和F(n-1),G(n-1)表示……额算是两个一维矩阵？其实也很好理解只是因为我菜所以想了很久……恩。
有的地方会超int要注意，wa了一发。
#include<stdio.h> #include<string.h>using namespace std;const int m=2;const int mod=1000000007;struct matrix{ long long x[m][m];};matrix mutimatrix(matrix a,matrix b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) for(int k=0;k<m;k++){ temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j]; temp.x[i][j]%=mod; } return temp;}matrix powmatrix(matrix a,int b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) temp.x[i][i]=1; while(b){ if(b%2==1) temp=mutimatrix(temp,a); a=mutimatrix(a,a); b=b/2; } return temp;}int main(){ int n,p,k; while((scanf("%d%d%d",&n,&p,&k))!=EOF){ matrix st; st.x[0][0]=p-k; st.x[0][1]=p-k; st.x[1][0]=k; st.x[1][1]=k-1; st=powmatrix(st,n-1); printf("%d\n",(st.x[0][0]*(p-k)+st.x[0][1]*k+st.x[1][0]*(p-k)+st.x[1][1]*k)%mod); } return 0;}8.poj 3150 循环矩阵题，从前一组状态推出后一组状态即可，不过n太大，需要用循环矩阵加速
题目链接：http://poj.org/problem?id=3150
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/9840613，在uva交的，poj上输入输出格式可能不一样
9.hdu 4565 13年长沙邀请赛的题目，需要数论知识推出矩阵关系
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4565
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10045229
是的所以我又空了一道题，来我们先做简单点的。
啊这题，首先第一反应是快速幂，然后不行，有小数。接着考虑矩阵快速幂，我们的目的是把小数排除掉，我第一个想法是从展开式里做文章，把小数分成整数部分和小数部分，小数乘小数的舍掉因为永远小于1，后来推了推不是很好实现。
然后我想到直接把可能出现小数部分的始作俑者提出来，也就是√b。
自然而然的可以想到，Sn一定可以用一个整数和一个带系数的√b项表示，即Sn=Xn+Yn*√b。
Xn+Yn*√b = (Xn-1 + Yn-1*√b)*(a+√b)
Xn+Yn*√b = a*Xn-1 + a*Yn-1*√b + Xn-1*√b + b*Yn-1
把整数和带√b的项分别合并，显然得：
Xn = a*Xn-1 + b*Yn-1
Yn = Xn-1 + a*Yn-1
然后就跟第七题一样构建矩阵做就好啦……。
这道题其实我wa了很多次，我写矩阵都是很规矩按照公式来的，从x1开始推就乘n-1次，从x0开始推就乘n次这样的，最后也是很规矩的把系数一项一项乘进去。这题本来也是这样的，但是后面精度一直爆，其实我也不知道是不是爆了精度，只不过我比较自信其他的没写错。最后还是改成了n次相乘才过了题。
……可是我看了看取值范围还是不觉得会爆long long啊就很烦。
下面ac代码。
#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>using namespace std;const int m=2;int mod;struct matrix{ long long x[m][m];};matrix mutimatrix(matrix a,matrix b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) for(int k=0;k<m;k++){ temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j]; temp.x[i][j]%=mod; } return temp;}matrix powmatrix(matrix a,int b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) temp.x[i][i]=1; while(b){ if(b%2==1) temp=mutimatrix(temp,a); a=mutimatrix(a,a); b=b/2; } return temp;}int main(){ int a,b,n; while((scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&n,&mod))!=EOF){ matrix st; st.x[0][0]=a; st.x[0][1]=b; st.x[1][0]=1; st.x[1][1]=a; st=powmatrix(st,n); printf("%lld\n",2*st.x[0][0]%mod); } return 0;}10.hdu 4686 推公式，需要点时间
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4686
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10114885
这题一开始我以为我和上一题一样死大数了，后来发现死0的特判了，wa的不值。
这题就是推一个关于an，bn，fn，Sn的矩阵，其中fn=an*bn，Sn为所求前n项和。然后推出来你发现递推公式里有常数项，所以就需要创一个关于an，bn，fn，Sn，1的五维矩阵，最后的1用来抵常数项。
递推公式推出来挺简单的，写着太麻烦了我就不写了，看代码就行，代码是按照数学矩阵规范写的。
以下ac代码。
#include<stdio.h> #include<string.h>using namespace std;const int m=5;const int mod=1000000007;struct matrix{ long long x[m][m];};matrix mutimatrix(matrix a,matrix b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) for(int k=0;k<m;k++){ temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j]; temp.x[i][j]%=mod; } return temp;}matrix powmatrix(matrix a,long long b){ matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<m;i++) temp.x[i][i]=1; while(b){ if(b%2==1) temp=mutimatrix(temp,a); a=mutimatrix(a,a); b=b/2; } return temp;}int main(){ long long n; while((scanf("%lld",&n))!=EOF){ long long a0,ax,ay,b0,bx,by; scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&a0,&ax,&ay,&b0,&bx,&by); a0%=mod; b0%=mod; matrix st; st.x[0][0]=ax%mod; st.x[0][1]=0; st.x[0][2]=0; st.x[0][3]=0; st.x[0][4]=ay%mod; st.x[1][0]=0; st.x[1][1]=bx%mod; st.x[1][2]=0; st.x[1][3]=0; st.x[1][4]=by%mod; st.x[2][0]=ax*by%mod; st.x[2][1]=ay*bx%mod; st.x[2][2]=ax*bx%mod; st.x[2][3]=0; st.x[2][4]=ay*by%mod; st.x[3][0]=ax*by%mod; st.x[3][1]=ay*bx%mod; st.x[3][2]=ax*bx%mod; st.x[3][3]=1; st.x[3][4]=ay*by%mod; st.x[4][0]=0; st.x[4][1]=0; st.x[4][2]=0; st.x[4][3]=0; st.x[4][4]=1; st=powmatrix(st,n-1); if(n==0) printf("0\n"); else printf("%lld\n",(st.x[3][0]*a0%mod+st.x[3][1]*b0%mod+st.x[3][2]*((a0*b0)%mod)%mod+a0*b0%mod+st.x[3][4]%mod)%mod); } return 0;}11.hdu 3893 状态很多，需要通过对称性来简化题目
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3893
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10122107
12.hdu 4291 找循环，在3次矩阵
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4291
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10133651
13.hdu 2256 跟长沙邀请赛的那题很想，将2n中的2花掉，就一样了
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2256
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10135719
14.hdu 2604 dp+矩阵，
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2604
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10137011
15.fzu 1683 又是函数求和s[n]=s[n-1]+f[n],以此推矩阵
题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1683
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10142725
16.hdu 1588 需要推导下，等比矩阵和。。
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1588
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10147389
17.hdu 3117 这题也用到斐波那契通项公式，不过不是用来推矩阵的
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3117
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10150441
18.hdu 2254 经典题，用矩阵求路径的走法方案数
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2254
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10159845
19.hdu 2276 普通矩阵题，直接求状态即可，虽然矩阵是个循环矩阵。。
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2276
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10160467
20.fzu 1692 又一道循环矩阵题
题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1692
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10161947
21.zoj 2853 概率的矩阵题
题目链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2853
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10170785
22.zoj 2974 还是概率矩阵题，不过需要注意下特殊的数据
题目链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2974
题解代码链接：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10171941
23.poj 3735 理解各个处理方式有点。。推出来就简单了
题目链接：http://poj.org/problem?id=3735
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10173521
24.hdu 2855 较难题，需要用斐波那契数列通项公式推导，当然你眼力够强，也可以从数据里得出规律
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2855
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10195939
25.hdu 2971 较难题，主要需要推公式，有点难发现
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2971
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10196907
26.hdu 2294 dp+矩阵，不多说了，只要会用长度和种数dp就好了
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2294
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10198553
27.hdu 3233 等比矩阵和，可以讲矩阵看做一个元素，这样就可以得到以矩阵为元素的矩阵了
题目链接：http://poj.org/problem?id=3233
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10199559
28.poj 3744 较难题，根据地雷前后的状态来推，需要多次矩阵
题目链接：http://poj.org/problem?id=3744
题解代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10209009
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