矩阵的各种空间

这里涉及到矩阵的四个基本空间，即矩阵A的值域空间，零空间和矩阵A’的值域空间和零空间。\
设A是m*n的矩阵，称其列向量构成的子空间为A的值域空间，R（A），即任意n*1维的向量x,有Ax=b,b是A值域空间中的一个元素，所有的b构成了A的值域空间。A的零空间由所有满足方程Ax=0的x构成,N（A）。同理我们也可以得到A‘的值域空间和零空间。
    关于正交空间，其定义为：设M是内积空间V的子空间，N为M的正交空间，那么N中的任意向量均与M中的任意向量正交，即
                              N={x属于V | <m|x> = 0（即m'x=0）,对所有的m属于M都成立}


 矩阵A的值域空间的正交空间是其转置A'的零空间。证明如下：
设x属于R（A）的正交空间，那么便存在<Ay|x>=0,此处的Ay用于表示R（A）,进而可以得到：y'A'x=0,此处用到了转置的运算性质（AB）’=B‘A’。而根据y'A'x=0，我们可以得到<y|A‘x>=0，由y取值的任意性，我们可以得到A'x=0,即x属于A’的零空间N（A'），进而得到R（A）的正交空间是N（A'）的结论。


内积空间 
我来给你解释一下，一般的空间（不是我们常见的空间）只是由一些点组成的集合，两个点定义一个向量。
这些点之间没有距离和（向量没长度）的概念，如果在任意两个点之间定义一个大于0的距离，那么这个空间叫范数空间（这样的空间中有长度的概念），但是有长度，两个向量之间的关系还是不知道，比如向量是不是相似/垂直


因此，我们还可以定义向量之间的相似性（也就是向量张三投影到向量李四身上的影子有多大）这样的空间就有了垂直和投影（相似性的概念），这样的空间我们叫内积空间。很显然，向量自己投影到自己身上就是自己的长度，因此内积空间一定是范数空间（有长度），内积空间还有相似性，夹角，垂直的概念。


内积空间 实数 就是 欧式空间  复数 就是欧氏空间与酉空间