[JZOJ5457]【NOIP2017提高A组冲刺11.6】项链

Description

现在有m 种颜色的珠子。定义一个长度为n的项链为一个顺次连接n个珠子的环, 将所有旋转和翻转看作是等价的。
比如说, [1,2,3,4]通过旋转等价于[2,3,4,1],[3,4,1,2], [4,1,2,3]; [1, 2,3,4] 通过翻转等价于[1,4,3,2], [3,2,1,4], [2,1,4,3],[4,3,2,1]。
同时, 你还可以进行一种颜色转换操作. 这种操作会将所有珠子的颜色编号加1, 特别地, 对于所有颜色编号为m的珠子, 它们的颜色编号会变为1。
如果一个项链A在经过任意的旋转, 翻转, 颜色转换之后变为了项链B,则称A和B是等价的。
现在你要统计有多少个本质不同的项链, 对998244353 取模。

对于100% 的数据, 1<=T<=20; 3<=n<=10^18; 2<=m<=10^18, 998244353 ∤ n,m。

Solution

巨坑慎入。。。

有个叫burnside引理的东西。。

此处不再赘述，附上链接。
http://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/78480961
总置换数肯定是2*N*M,就是翻转与否，颜色转换多少次，旋转多少次

方便讨论，将翻转次数设为0到1，旋转次数设为1到N（就是不转），颜色转换次数设为1到M（就是不转换）

那么推式子，把旋转+颜色转换（可以是m次），翻转+旋转，旋转+翻转+颜色转换（不为m次）看作置换分开讨论

求的是每种置换不动点的个数，此处我们将一个序列看成一个点，置换不动点也就是经过置换序列不变

翻转的很好弄
分偶数和奇数讨论

下面的公式请自行感受。。这题搞得我倦生了。。

n种旋转，n/2对数要相同

奇数就是mn/2+1∗n
因为奇数翻转有一个数会不动，那么它怎么颜色转换（除非转换M次）都不会等于自己

偶数比较麻烦
偶数翻转有可能全部动，也有可能有两个数作为对称轴不动
就是mn/2∗(n/2)+mn/2+1∗(n/2)

偶数还要考虑颜色转换
只有全部动可以
并且转换两次要等于自己，那么m必须得是偶数，只有转换m/2次可行
就是mn/2∗(n/2)

重点在于旋转
枚举旋转多少次
x,x+i,x+2i,x+3i...x+ki
直到x+ki≡x(modn)

方便起见(i,n)=gcd(i,n)

可以很容易算出k=n/(i,n)
那么总共就有(i,n)组这样的环

每种环染色，那么就是m(i,n)

考虑颜色转换
设转换了j次，那么转换k∗j要回到自己
即j∗n/(i,n)≡0(modm)

那么总的式子就是∑i=1nm(i,n)∑j=1m[j∗n/(i,n)≡0(modm)]

考虑化简
设d=n/(i,n)
那么∑i=1n[n/(i,n)=d]=φ(d)
这个可以自己推导一下

那么原式化为∑d|nmn/dφ(d)∑j=1m[jd≡0](modm)

解同余方程
jd≡0(modm)
j∗d/(d,m)≡0(modm(d,m))
那么j≡0(modm(d,m))
j=k∗m(d,m),k∈N∗

又有1≤j≤m
所以j总共有(d,m)种取值

最终的式子就是
∑d|nmn/dφ(d)∗(d,m)

可以用pollard_rho算法分解质因数，然后枚举约数即可

关于pollard_rho算法Miller_Rabin测试，参看
http://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/78483767

Code

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <iostream>#include <algorithm>#include <cmath>#include <cstring>#include <ctime>#include <map>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)#define mo 998244353#define LL long longusing namespace std;int d[5]={2,3,5,7,10007};LL pr[70],p1[70][2],p2[70][2],l1,l2,ans,n,m;map<LL,LL> h;LL gcd(LL x,LL y){    return(!y)?x:gcd(y,x%y);}LL ti(LL x,LL y,LL m){    if(y==0||x==0) return 0;    LL s=ti(x,y/2,m);    return (y%2)?((s+s)%m+x)%m:(s+s)%m;}LL ksm(LL k,LL n,LL m){    LL s=1;    for(;n;n>>=1,k=ti(k,k,m)) if(n&1) s=ti(s,k,m);    return s;}LL rd(LL k){    return ((rand()*rand()%k*rand()%k*rand()%k)+rand())%k;}bool pd(LL k){    fo(i,0,4)    {        if(k==d[i]) return 1;        if(k%d[i]==0) return 0;        LL t,n=k-1;        while((n&1)==0) n>>=1;        t=ksm(d[i],n,k);        while(n<k-1&&t!=1&&t!=k-1) t=ti(t,t,k),n<<=1;        if(!((n&1)||t==k-1)) return 0;    }       return 1;}LL get(LL k){    LL c=rd(1e9)+1,r,x,y,i=1,n=2;    x=y=rd(k-1)+1;    while(1)    {        i++;        x=(ti(x,x,k)+c)%k;        if(x==y) return k;        r=gcd(abs(x-y),k);        if(1<r&&r<k)         {            return r;        }        if(i==n) y=x,n<<=1;    }}void fd(LL k){    if(k==1) return;    if(pd(k))    {        pr[++pr[0]]=k;        return;    }    LL p=k;    while(p==k&&p!=1) p=get(k);    fd(k/p),fd(p);}LL km(LL k,LL n){    LL s=1;    k%=mo;    for(;n;k=k*k%mo,n>>=1) if(n&1) s=s*k%mo;    return s;}void dfs(int k,LL s,LL g,LL phi){    if(k>l1)    {        (ans+=ti(phi,g,mo)*km(m,n/s)%mo)%=mo;        return;    }    dfs(k+1,s,g,phi);    LL l=(h.count(p1[k][0])==0)?0:h[p1[k][0]];    fo(i,1,p1[k][1])    {        s*=p1[k][0];        if(i<=l) g*=p1[k][0];        if(i==1)phi*=(p1[k][0]-1);        else phi*=p1[k][0];        dfs(k+1,s,g,phi);    }}int main(){    int t;    srand(time(0));    cin>>t;    while(t--)    {        n,m;        scanf("%lld%lld",&n,&m);        LL cnt=(LL)2*(n%mo)*(m%mo);        ans=0;        pr[0]=0;        l1=l2=0;        h.clear();        fd(n);        sort(pr+1,pr+pr[0]+1);        l1=1;        p1[1][0]=pr[1],p1[1][1]=1;        fo(i,2,pr[0])        {            if(pr[i]!=pr[i-1]) p1[++l1][0]=pr[i],p1[l1][1]=1;            else p1[l1][1]++;        }        pr[0]=0;        fd(m);        sort(pr+1,pr+pr[0]+1);        l2=1;        p2[1][0]=pr[1],p2[1][1]=1;        fo(i,2,pr[0])        {            if(pr[i]!=pr[i-1]) p2[++l2][0]=pr[i],p2[l2][1]=1;            else p2[l2][1]++;        }        fo(i,1,l2) h[p2[i][0]]=p2[i][1];        dfs(1,1,1,1);        if(n%2)        {            ans=(ans+km(m,n/2+1)*(LL)(n%mo))%mo;        }        else        {            ans=(ans+km(m,n/2)*(LL)((n/2)%mo)%mo+km(m,n/2+1)*(LL)((n/2)%mo)%mo)%mo;            if(m%2==0) ans=(ans+km(m,n/2)*(LL)((n/2)%mo)%mo)%mo;        }        ans=ans*km(cnt,mo-2)%mo;        printf("%lld\n",ans);    }   }