HDU5685 (费马小定理,逆元)

Problem A

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1537    Accepted Submission(s): 691

Problem Description

度熊手上有一本字典存储了大量的单词，有一次，他把所有单词组成了一个很长很长的字符串。现在麻烦来了，他忘记了原来的字符串都是什么，神奇的是他竟然记得原来那些字符串的哈希值。一个字符串的哈希值，由以下公式计算得到：

$H(s)=\prod_{i=1}^{i\leq len(s)}(S_{i}-28)\ (mod\ 9973)$

$S_{i}$代表 S[i] 字符的 ASCII 码。

请帮助度熊计算大字符串中任意一段的哈希值是多少。

 

Input

多组测试数据，每组测试数据第一行是一个正整数$N$，代表询问的次数，第二行一个字符串，代表题目中的大字符串，接下来$N$行，每行包含两个正整数$a$和$b$，代表询问的起始位置以及终止位置。

$1\leq N\leq 1,000$

$1\leq len(string)\leq 100,000$

$1\leq a,b\leq len(string)$

 

Output

对于每一个询问，输出一个整数值，代表大字符串从 $a$ 位到 $b$ 位的子串的哈希值。

 

Sample Input

2ACMlove20151 118 101testMessage1 1

 

Sample Output

6891924088

额 上面题目怎么乱码了。。

最基本解法就是求出前缀积然后对于每一次询问右边界值除以左边界的前一个的值，但是由于结果比较大，所以每个值都是取模后的值，不能直接相除。

因为(a/b)%m = (a%m*(b的逆)%m)%m，所有可以用费马小定理求b的逆。

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

意思很明了，由上方的公式很容易推导出:a*a(p-2)≡1（mod p）对于整数a，p，a关于p的逆元就是a^(p-2),直接快速幂解之即可，但注意这个定理要求a,p互质！

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<queue>#include<stack>#include<cstring>#include<string>#include<vector>#include<cmath>#include<map>using namespace std;typedef long long ll;#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))const int maxn = 1e6+5;const int ff = 0x3f3f3f3f;const double esp = 1e-7;int n,len;char s[maxn];int dp[maxn];void init(){dp[0] = 1;dp[1] = s[0] - 28;for(int i = 2;i<= len;i++)dp[i] = (s[i-1]-28)*dp[i-1]%9973;}int quick_pow(int x,int y){int ans = 1;int a = x;while(y){if(y%2 == 1)ans = (ans*a)%9973;a = (a*a)%9973;y/= 2;}return ans;}int main(){while(~scanf("%d",&n)){scanf(" %s",s);len = strlen(s);init();while(n--){int l,r;scanf("%d %d",&l,&r);int ans = (dp[r]*quick_pow(dp[l-1],9971))%9973;printf("%d\n",ans);}}return 0;}