Math——HDUOJ 1290

原题：

• Problem Description

。。。。。想象着正式校庆那一天，校长亲自操刀，把这个大蛋糕分给各地赶来祝贺的校友们，大家一定很高兴，呵呵，流口水了吧…
等一等，吃蛋糕之前先考大家一个问题：如果校长大人在蛋糕上切了N刀（校长刀法极好，每一刀都是一个绝对的平面），最多可以把这个球形蛋糕切成几块呢？
做不出这个题目，没有蛋糕吃的！
为-了-母-校-，为-了-蛋-糕-（不是为了DGMM，枫之羽最会浮想联翩…），加-油-！

Input

输入数据包含多个测试实例，每个实例占一行，每行包含一个整数n(1<=n<=1000)，表示切的刀数。

Output

对于每组输入数据，请输出对应的蛋糕块数，每个测试实例输出一行。

Sample Input

1
2
3

Sample Output

2
4
8

解题思路：

题目的意思，就是给你一个空间，用n个平面可以将空间分割成多少小空间？！

• 可以从二位平面入手：给你一个平面，用n条线可以将平面分割成多少小平面？？（这n条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点）
  
  • 设n条直线最多可将平面分割成 bn个部分
  • 当n=1,2,3时，易知平面最多被分为2，4，7个部分
  • 当n=k 时，设 k条直线将平面分成了 bk个部分。
  • 接着当添加上第k+1条直线时，这条直线与前k 条直线相交有 k个交点，这 k个交点将第k+1条直线分割成k段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了K+1个区域
  • 故得递推关系式：b(k+1)=b(k)+(k+1) ，即 b(k)-b(k-1)=k+1
    显然当k=1 时, b(1) =2，当k=2,3…..n 时，我们得到下列式子：
    
    • b(2)-b(1)=2;
    • b(3)-b(2)=3;
    • b(4)-b(3)=4;
    • b(5)-b(4)=5;
      ……
    • b(n)-b(n-1)=n;
  • 将这 n-1个式子相加，得b(n)=1/2×(n^2+n+2)，即n条直线最多可将平面分割成1/2×(n^2+n+2) 个部分。
• 现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k个平面将空间分割成a(k)个部分，再添加上第k+1个平面，这个平面与前k个平面相交有k条交线，这k条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成b(k)个部分。
  
  • 这b(k)个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以，添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了b(k)个部分。
  • 由此的递推关系式：a(k+1)=a(k)+b(k)， 即 a(k)-a(k-1)=b(k)
    当k=2,3……..n时，我们得到如下n-1个关系式
    
    • a(2)-a(1)=b(1);
    • a(3)-a(2)=b(2);
      ……
    • a(n)-a(n-1)=b(n-1);
  • 将这n-1个式子相加，得
    a(n)=a(1)+(b(1)+b(2)+b(3)+…….+b(n-1))
    因为 b(n)= 1/2*(n^2+n+2),a(1)=2
    所以 a(n)=2+{1/2*(1^2+1+2)+(2^2+2+2)+(3^2+3+2)+……..+((n-1^2)+(n-1)+2)}=(n^3+5×n+6)/6
    n个平面最多可将平面分割成 =(n^3+5×n+6)/6个部分

代码：

#include<stdio.h>short n;int main(){    while (scanf("%d",&n)!=EOF)        printf("%d\n", (n * n * n + 5 * n + 6) / 6);}

总结一下数学常用的公式：

立方和公式：a^3 +b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式：a^3 - b^3 = (a -b)(a^2+ab+b^2)
平方前n项和：1^2+2^2+3^2+…+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
立方前n项和：1^3+2^3+3^3+…+n^3 = [n(n+1)/2]^2
n条直线最多可将平面分割成(n^2+n+2)/2个部分
n个平面最多可将平面分割成(n^3+5×n+6)/6个部分
n个三角形最多可以把平面分成sum[n-1]+6×(n-1)个部分