SM9必要的一些数学基础知识（一）

SM9必要的一些数学基础知识（一）

有限域：

有限域亦称伽罗瓦域（galois field），是仅含有限个元素的域,它是伽罗瓦(Galois,E.)于18世纪30年代研究代数方程根式求解问题时引出的.有限域的特征数必为某一素数p,因此它含的素域同构于Zp.若F是特征为p的有限域,则F中元素的个数为pⁿ,n为某一正整数.元素个数相同的有限域是同构的.因此,通常用GF(pⁿ)表示pⁿ元的有限域.GF(pⁿ)的乘法群是(pⁿ-1)阶的循环群.有限域在近代编码、计算机理论、组合数学等各方面有着广泛的应用.

设q为一个素数或素数方幂，f(x)是多项式环Fq[x]上的一个m次不可约多项式，商环Fq[x]/f(x)是含q的m次方个元素的有限域，称其为Fq[x]的扩域。

特征数：

任何一个一次函数,取出它的一次项系数p和常数项q,有序数组{p,q}为其特征数
例如y=2x+5,特征数是{2,5}
y=x-6,特征数是{1,-6}
y=-5x+5,特征数是{-5,5}
……

素域：

素域是一种重要的域，指不含任何真子域的域。任何一个域F都有单位元e，考虑加群{0，±e，±2e，…，±me，…}，它有两种可能：

1.对任意非零整数m，me≠0，若S={ne/me|m，n为整数，m≠0}，则S是F的子域且同构于有理数域，此时称F的特征(数)为零；

2.存在正整数m，me=0，若p是使pe=0的最小正整数，则p必为素数，称为F的特征(数)，若S={0，e，…，(p-1)e}，则S是F的子域且与整数环模p的域同构，当F=S时,称F是素域,因此任意域都含有一个素子域。

同构：

在抽象代数（abstractalgebra)中，同构(isomorphism)指的是一个保持结构的双射(bijection)。既是单射又是漫射。

多项式环：

在抽象代数中，多项式环推广了初等数学中的多项式。一个环 R 上的多项式环是由系数在R 中的多项式构成的环，其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义。在范畴论的语言中，当R 为交换环时，多项式环可以被刻划为交换R-代数范畴中的自由对象。

生成元：

若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由元a生成的，并且用符号G=（a）来表示。a叫做G的一个生成元。

同态映射：

假设M，M′是两个乘集，也就是说M和M′是两个各具有一个封闭的具有结合律的运算*与*‘的代数系统。

σ是M射到M′的映射，并且任意两个元的乘积的像是这两个元的像的乘积，即对于M中任意两个元a,b,满足σ(a*b)=σ(a)*’σ(b)；也就是说，当a→σ(a)，b→σ(b)时，a*b→σ(a)*’σ(b)，那么这映射σ就叫做M到M′上的同态。