SM9必要的一些数学基础知识（二）

SM9必要的一些数学基础知识（二）

群（GROUP）：

群指的是元素集合G及G内任意两个元素的联合操作的集合。

群操作是封闭的，是可结合的，存在元，存在逆元。

符合交换率的群是交换群，也叫做阿贝尔群。

基本域

基本域是这个空间的一个子集，包含了每个轨道中恰好一点。基本域具体地用几何表现出抽象的轨道代表集。
构造基本域的方法有很多。一般会要求基本域是连通的，又对其边界加上一些限制，例如是光滑或是多面的。基本域在群作用下的像，就会把空间密铺。

奇异点：

令Fq表示q个元素的有限域，用E(Fq）表示定义在Fq上的一个椭圆曲线E。

定理1.(Hass定理） E(Fq）的点数用#E(Fq）表示，则| #E(Fq)-q-1|≤2q1/2

⑴ Fp（素域，p为素数）上椭圆曲线牋 p>3 a,b Fp 4a3+27b2 0 a b义的Fp上的一个椭圆曲线方程为：y2=x3+ax+b ⑵它的所有解（x,y），（x Fp，y Fp），连同一个称为撑耷钤?点敚?俏?龋┑脑?刈槌傻募?霞俏狤（Fp），由Hass定理知：p+1-2p1/2≤#E(Fp) ≤ p+1+2p1/2集合E(Fp）对应下面的加法规则，且对加法 形成一个Abel群：

（i) θ⊙ θ=θ （单位元素）

（ii) (x,y）⊙ θ=(x,y），任给（x,y) ∈E(Fp)

（iii) (x,y）⊙ (x,-y)=θ，任给（x,y) ∈E(Fp），即点（x,y）的逆元为（x,-y).

（iv) 令（x1,y1），（x2,y2）为E(Fp）中非互逆元，则

（x1,y1）⊙ (x2,y2）=(x3,y3），其中x3=α2-2x1，y3= α（x1-x3）-y1且α=(y2-y1）/(x2-x1） ⑶

（v）（倍点运算规则）

设（x1,y1） ∈E(Fp),y1≠0，则2(x1,y1）=(x3,y3），其中x3= α2-2x1,y3=α（x1-x3）-y1这里α=（3x12+a)/（2y1） ⑷

注：若#E(Fp)=p+1，曲线E(Fp）称为超奇异的，否则称为非超奇异的。

例子：F23上的一个椭圆曲线令y2=x3+x+1是F23上的一个方程（a=b=1），则该椭圆曲线方程在F23上的解为（y2=x3+x+1的点）：（0,1），（0,22），（1,7），（1,16），（3,10），（3,13），（4,0），（5,4），（5,19），（6,4），</pre><pre>；（6,19），（7,11），（7,12），（9,7），（9,16），（11,3），（11,20），（12,4），（12,19），（13,7），</pre><pre>；（13,16），（17,3），（17,20），（18,3），（18,20），（19,5），（19,18）；θ。群E(F23）有28个点（包括无穷远点θ）。