【分治算法】整数划分

分治法求整数划分

     把一个正整数写成n=m1+m2+…+mi，其中m1>m2>m3>…>mi，1<=mi<=n，i>=1，则{m1,m2…,mi}叫做n的一个划分。

算法思想

     设正整数n的不同划分个数称为正整数的划分数，记作p(n)。     如果｛m1,m2,…mi｝中最大的值不超过m，称他为n的一个m划分，记作q(n,m)。     例如n=4有5个划分：{4};{3+1};{2+2};{2+1+1};{1+1+1+1}。     该问题是求出n的所有划分个数，即f(n,n)。

算法分析

     1、n==1：m取任意值，只有一种划分{1}     2、m==1：n取任意值，只有一种划分{1+1+1+…+1}     3、n==m：根据划分中是否包含n，分为：               （1）划分中包含n，只有一种｛n｝               （2）划分中不包含n，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n所有的n-1划分

（3）因此q(n,n)=1+q(n,n-1)

     4、n<m：实际上不允许出现n<m情况，这时即为q(n,n)     5、n>m：根据划分中是否包含最大值m，可以分为               （1）包含m的情况，即｛m,{x1,x2,….xi}并且x1+x2+…+xi=n-m,因此这种情况下为q(n-m,m)。              （2）划分中不包含m且划分中所有值都比m小，即n的所有(m-1)划分，为q(n,m-1)     6、由以上分析得：               q(n,m)=1;                                                         n==1|m==1               q(n,m)=q(n,n);                                       n<m               q(n,n)=1+q(n,m-1);                              n==m               q(n,m)=q(n-m,m)+q(n,m-1);              m<n

源代码如下：

#include<iostream>using namespace std;int f(int n1,int m1){    if(n1==1||m1==1)        return 1;    else if(n1==m1)    {        return 1+f(n1,n1-1);    }    else if(n1>m1)    {        return f(n1-m1,m1)+f(n1,m1-1);    }    else if(n1<m1)    {        return f(n1,n1);    }}int main(){    int p;    cin>>p;    cout<<f(p,p)<<endl;    return 0;}

输入与输出：
5
7

6
11

4
5