分治法求整数划分
来源:互联网 发布:centos 禁止ping 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 09:40
分治法求整数划分
把一个正整数写成n=m1+m2+…+mi,其中m1>m2>m3>…>mi,1<=mi<=n,i>=1,则{m1,m2…,mi}叫做n的一个划分。
算法思想
设正整数n的不同划分个数称为正整数的划分数,记作p(n)。
如果{m1,m2,…mi}中最大的值不超过m,称他为n的一个m划分,记作q(n,m)。
例如n=4有5个划分:{4};{3+1};{2+2};{2+1+1};{1+1+1+1}。
该问题是求出n的所有划分个数,即f(n,n)。
算法分析
1、n==1:m取任意值,只有一种划分{1}
2、m==1:n取任意值,只有一种划分{1+1+1+…+1}
3、n==m:根据划分中是否包含n,分为:
(1)划分中包含n,只有一种{n}
(2)划分中不包含n,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n所有的n-1划分
(3)因此q(n,n)=1+q(n,n-1)
4、n<m:实际上不允许出现n<m情况,这时即为q(n,n)
5、n>m:根据划分中是否包含最大值m,可以分为
(1)包含m的情况,即{m,{x1,x2,….xi}并且x1+x2+…+xi=n-m,因此这种情况下为q(n-m,m)。例如q(12,4),这时划分中包含的最大数为4,q(12,4)à{4,{8}},也就是变成了要求除了最大数4以外剩下的8能以不超过4的划分个数,即q(n-m,m)=q(8,4)。
(2)划分中不包含m且划分中所有值都比m小,即n的所有(m-1)划分,为q(n,m-1)
6、由以上分析得:
q(n,m)=1; n==1|m==1
q(n,m)=q(n,n); n<m
q(n,n)=1+q(n,m-1); n==m
q(n,m)=q(n-m,m)+q(n,m-1); m<n
算法实现
#include<iostream>
using namespace std;
int equationCount(int n,int m)
{
if(n==1||m==1)
return 1;
else if(n<m)
returnequationCount(n,n);
else if(n==m)
return 1+equationCount(n,n-1);
else
return equationCount(n,m-1)+equationCount(n-m,m);
}
int main(void)
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&(n>=1&&n<=120))
{
printf("%d\n",equationCount(n,n));
}
return 0;
}
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