非旋转 Treap 学习笔记（一）

来源：互联网发布：人工智能开发语言编辑：程序博客网时间：2024/05/22 00:26

非旋 Treap 的每个操作的时间复杂度是 O(logn) 的

Luogu P3369 【模板】普通平衡树（Treap/SBT）

插入 x 数
删除 x 数(若有多个相同的数，因只删除一个)
查询 x 数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数+1。若有多个相同的数，因输出最小的排名)
查询排名为 k 的数
求 x 的前驱(前驱定义为小于 x，且最大的数)
求 x 的后继(后继定义为大于 x，且最小的数)

Merge

Split

Insert

新插入一个权值为 x 的点，找 x 的排名时，如果 Treap 里已有权值也为 x 的点，就返回 < x 的数的个数 + 1。
否则返回 < x 的数的个数。

erase

（更正： k 应该是 < x 的个数

指针版：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;struct Treap {    struct Node {        Node *lc, *rc;        int x, size, key; // key 为优先级         Node(int x) : lc(NULL), rc(NULL), x(x), size(1), key(rand()) {}        inline void maintain() { size = (lc ? lc->size : 0) + (rc ? rc->size : 0) + 1; }        inline int lSize() { return lc ? lc->size : 0; }    } *root;    // 合并    // 需要保证 a 中的所有节点比 b 中的小    Node *merge(Node *a, Node *b) {        if (!a && !b) return NULL;        if (!a) { b->maintain(); return b; } //        if (!b) { a->maintain(): return a; }        if (a->key > b->key) {            a->rc = merge(a->rc, b); // 一定要注意是 merge(a->rc, b) 而不是 merge(b, a->rc)，显然仍然要保证前一个 Treap 小于后一个 Treap。            a->maintain();            return a;        } else {            b->lc = merge(a, b->lc);            b->maintain();            return b;        }    }    // 将 v 这棵子树分离成两棵，前 k 个节点作为 l 返回，之后的节点作为 r 返回    inline void split(Node *v, int k, Node *&l, Node *&r) {        if (!v) { l = r = NULL; return ;}        int s = v->lSize();        if(k <= s) {            split(v->lc, k, l, r);            v->lc = r; // 将返回的不在前 k 个范围内的 r 接到 v 的左儿子，为什么不是右儿子呢，因为右儿子有东西了啊             r = v; // 将剩余的 v 作为 r 返回，属于前 k 个数的已经在上两步被 split 掉了，所以剩下的 v 就是不在前 k 个数中的了         } else {            split(v->rc, k - s - 1, l, r); // 注意节点数要改变             v->rc = l;            l = v;        }        // 注意重新维护信息        v->maintain();    }    // 返回有多少个 < x 的数    inline int lowerCount(int x) {        Node *v = root;        int res = 0;        while(v) {            // 如果 v->x == x，走前一个分支，不将当前点加到答案中            if (x <= v->x) v = v->lc;            else {                res += v->lSize() + 1;                v = v->rc;            }        }        return res;    }    // 返回有多少个 <= x 的数    inline int upperCount(int x) {        Node *v = root;        int res = 0;        while(v) {            // 如果 v->x == x，走后一个分支，将当前点加到答案中            if (x < v->x) v = v->lc;            else {                res += v->lSize() + 1;                v = v->rc;            }        }        return res;    }    inline void insert(int x) {        int cnt = lowerCount(x);        Node *l, *r;        split(root, cnt, l, r);        // 新节点        Node *v = new Node(x);        root = merge(merge(l, v), r);    }    inline void erase(int x) {        int cnt = lowerCount(x);        // pred 为 x 的前趋及之前的所有节点        // tmp 为最靠前的一个等于 x 的节点（及其子树）        Node *pred, *tmp;        split(root, cnt, pred, tmp);        // succ 为不需要删除的多余的 x 和 x 的后继及之后的所有节点        // target 表示实际删除的唯一一个节点        Node *target, *succ;        split(tmp, 1, target, succ); // 注意这里要分离的是 tmp        root = merge(pred, succ);    }    // 查询排名为 k 的数    inline int select(int k) {        Node *v = root;        while(v->lSize() != k - 1) {            if(v->lSize() > k - 1) v = v->lc;            else {                k -= v->lSize() + 1;                v = v->rc;            }        }        return v->x;    }    inline int rank(int x) {        return lowerCount(x) + 1;    }    inline int pred(int x) {        return select(lowerCount(x));    }    inline int succ(int x) {        return select(upperCount(x) + 1);    }}treap;int main() {    int n;    scanf("%d", &n);    while (n --) {        int opt, x;        scanf("%d%d", &opt, &x);        if (opt == 1) treap.insert(x);        else if (opt == 2) treap.erase(x);        else if (opt == 3) printf("%d\n", treap.rank(x));        else if (opt == 4) printf("%d\n", treap.select(x));        else if (opt == 5) printf("%d\n", treap.pred(x));        else if (opt == 6) printf("%d\n", treap.succ(x));    }    return 0;}

数组版：

#include <bits/stdc++.h>#define mp make_pairusing namespace std;const int inf = 0x7fffffff, N = 1e5 + 5;typedef pair<int, int> par;int rt = 0, cnt = 0;struct Treap {    int ls[N], rs[N], size[N], prio[N], w[N];    inline void maintain(int p) { size[p] = size[ls[p]] + size[rs[p]] + 1; }    inline int merge(int x, int y) {        if (!x) { maintain(y); return y; }        if (!y) { maintain(x); return x; }        if (prio[x] < prio[y]) { rs[x] = merge(rs[x], y); maintain(x); return x; }        else { ls[y] = merge(x, ls[y]); maintain(y); return y; }        }    par split(int p, int k) {        if (!k) return mp(0, p);        if (k <= size[ls[p]]) {            par tem = split(ls[p], k);            ls[p] = tem.second;            maintain(p);            return mp(tem.first, p);        }        par tem = split(rs[p], k - size[ls[p]] - 1);        rs[p] = tem.first;        maintain(p);        return mp(p, tem.second);    }    int queryrank(int p, int x) {        int ans = 0, tem = inf;        while (p) {            if (x == w[p]) tem = min(tem, ans + size[ls[p]] + 1);            if (x > w[p]) ans += size[ls[p]] + 1, p = rs[p];            else p = ls[p];        }        return (tem == inf) ? ans : tem;    }    inline void insert(int x) {        int k = queryrank(rt, x);        par tem = split(rt, k);        w[++ cnt] = x, size[cnt] = 1, prio[cnt] = rand();        rt = merge(tem.first, cnt), rt = merge(rt, tem.second);    }    void erase(int x) {        int k = queryrank(rt, x);        par p1 = split(rt, k - 1); par p2 = split(p1.second, 1);        rt = merge(p1.first, p2.second);        }    int select(int p, int k) {        for (; ; ) {            if (k == size[ls[p]] + 1) return w[p];            if (k < size[ls[p]] + 1) p = ls[p];            else k -= size[ls[p]] + 1, p = rs[p];        }    }    int pred(int p, int x) {        int ans = -inf;        while(p) {            if(x > w[p]) ans = max(ans, w[p]), p = rs[p];            else p = ls[p];        }        return ans;    }    int succ(int p, int x) {        int ans = inf;        while(p) {            if(x < w[p]) ans = min(ans, w[p]), p = ls[p];            else p = rs[p];        }        return ans;    }} treap;int main() {    int n;    scanf("%d", &n);    while (n --) {        int opt, x;        scanf("%d%d", &opt, &x);        if (opt == 1) treap.insert(x);        else if (opt == 2) treap.erase(x);        else if (opt == 3) printf("%d\n", treap.queryrank(rt, x));        else if (opt == 4) printf("%d\n", treap.select(rt, x));        else if (opt == 5) printf("%d\n", treap.pred(rt, x));        else if (opt == 6) printf("%d\n", treap.succ(rt, x));    }    return 0;}

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