算法_02_BFPRT

问题：

求一个数组中第 k 小的数。
要求：时间复杂度 严格O(N)

分析：
如果把数组进行排序，然后取出第 k 个数，那么复杂度为 O(NlogN)
这种方法不行。
那么下面给出两种解答方法，第二种就是今天讲的 BFPRT。

1. 经典解法

   • 利用快排 patition 划分
   • 然后把比划分值小的放在左边，等于放中间，大于放右边，如果 k 在等于里面，那么命中了，如果没命中，重新划分，循环……

这种解法的缺点是什么呢，在于划分值得选取。所以 BFPRT 方法与经典解法的不同之处就在于划分值得选取。

1. BFPRT

思路：

选择中位数组中的上中位数作为划分值。

具体实现：

• 假设整个实现为函数 int f(int[] arr, int k),返回值即为最后答案
• 先划分5个值为一组，每一组组内排序，每组内排序为常数级别，复杂度 O(1),有 N/5组，故，总的复杂度 O(N)
• 选择每一组中的上中位数，组成新的数组 newArr，数组长度为 N/5
• 调用自己，int m = f(newArr, N/10)，即找到中位数组中的中位值m,这个值即为划分值。

下面分析为啥是这样的，看课堂上的手写笔记吧：
长度为 N/5的 newArr 中，至少有 N/10的数比 m 小，
纵观所有数字，每5个一小组中，至少有两个数字比当初选择组成newArr 的那个值要小，那么这个数组中至少有3N/10个数字比 m 小，至多有7N/10个数字比 m 大。
同理，至少有3N/10个数字比 m 大，至多有7N/10个数字比 m 小。

也就是选择 m 作为划分值导致的结果是：比 m 大的和比 m 小的数都控制在3N/10~7N/10的范围内。
后续，要么对左边进行寻找，要么在右边进行寻找，那么就保证了，这种算法每次至少淘汰了3N/10个数字。

下面是潦草的笔记：