ADV-3-金属采集

问题描述

人类在火星上发现了一种新的金属！这些金属分布在一些奇怪的地方，不妨叫它节点好了。一些节点之间有道路相连，所有的节点和道路形成了一棵树。一共有 n 个节点，这些节点被编号为 1~n 。人类将 k 个机器人送上了火星，目的是采集这些金属。这些机器人都被送到了一个指定的着落点， S 号节点。每个机器人在着落之后，必须沿着道路行走。当机器人到达一个节点时，它会采集这个节点蕴藏的所有金属矿。当机器人完成自己的任务之后，可以从任意一个节点返回地球。当然，回到地球的机器人就无法再到火星去了。我们已经提前测量出了每条道路的信息，包括它的两个端点 x 和 y，以及通过这条道路需要花费的能量 w 。我们想花费尽量少的能量采集所有节点的金属，这个任务就交给你了。

输入格式

第一行包含三个整数 n, S 和 k ，分别代表节点个数、着落点编号，和机器人个数。

接下来一共 n-1 行，每行描述一条道路。一行含有三个整数 x, y 和 w ，代表在 x 号节点和 y 号节点之间有一条道路，通过需要花费 w 个单位的能量。所有道路都可以双向通行。

输出格式

输出一个整数，代表采集所有节点的金属所需要的最少能量。

样例输入

6 1 3
1 2 1
2 3 1
2 4 1000
2 5 1000
1 6 1000

样例输出

3004

样例说明

所有机器人在 1 号节点着陆。

第一个机器人的行走路径为 1->6 ，在 6 号节点返回地球，花费能量为1000。

第二个机器人的行走路径为 1->2->3->2->4 ，在 4 号节点返回地球，花费能量为1003。

第一个机器人的行走路径为 1->2->5 ，在 5 号节点返回地球，花费能量为1001。

数据规模与约定

本题有10个测试点。

对于测试点 1~2 ， n <= 10 ， k <= 5 。

对于测试点 3 ， n <= 100000 ， k = 1 。

对于测试点 4 ， n <= 1000 ， k = 2 。

对于测试点 5~6 ， n <= 1000 ， k <= 10 。

对于测试点 7~10 ， n <= 100000 ， k <= 10 。

道路的能量 w 均为不超过 1000 的正整数。

PS：

锦囊1

使用动态规划。

锦囊2

使用F[i][k]表示以i结点为根，有k条路还要继续向根的方向走时最少花费的能量。

首先计算所有i的子结点的F值，然后再使用动态规划来计算F[i][k]。此时令G[p][j]表示i的前p个子树，还有j个要向上走时最小花费的能量，可写出G[p]和G[p-1]以及对应的结点F值的关系。利用两重动态规划解决本题。

//------------C-------------# include <stdio.h># include <string.h>#define N 100001struct edge{    int to;    int weight;    int next;};int tree[N];struct edge edges[2*N];int d[N][12];int K;int ep = 0;void add_edge(int x, int y, int w){    edges[ep].to = y;    edges[ep].weight = w;    edges[ep].next = tree[x];    tree[x] = ep++;}void dfs(int r, int p){int cur;int child,i,j;    for(cur = tree[r]; cur != -1; cur=edges[cur].next)    {        child = edges[cur].to;        if(child == p)            continue;        dfs(child, r);        for( i = K; i >= 0; i--)              {            d[r][i] += d[child][0]+edges[cur].weight*2;            for( j = 1; j <= i; j++)            {                if(d[r][i] > d[child][j] + d[r][i-j] + j*edges[cur].weight)                {                    d[r][i] = d[child][j] + d[r][i-j] + j*edges[cur].weight;                }            }        }    }}int main(void){int n, S;int i,a,b,c;    memset(tree, -1, sizeof(tree));    scanf("%d%d%d",&n,&S,&K);    for(i = 0; i < n-1; i++)    {                scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);        add_edge(a, b, c);        add_edge(b, a, c);    }    dfs(S, -1);    printf("%d",d[S][K]);return 0;}//------------C++-------------------#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int MAXN=100000+10,oo=100000000,MAXK=10+1;typedef long long LL;int N,S,K,fa[MAXN];int g[MAXN],num[MAXN*2],next[MAXN*2],cost[MAXN*2],tot=1;LL f[MAXN][MAXK],sum;inline void read(int &x){  char ch;  while (ch=getchar(),ch>'9' || ch<'0') ; x=ch-48;  while (ch=getchar(),ch<='9' && ch>='0') x=x*10+ch-48;}inline void addedge(int a,int b,int c) { ++tot; num[tot]=b; next[tot]=g[a]; g[a]=tot; cost[tot]=c; }void dfs(int x){  for (int i=g[x];i;i=next[i])    if (num[i]!=fa[x])    {      fa[num[i]]=x;      dfs(num[i]);            for (int a=K;a;--a)        for (int b=1;b<=a;++b)          f[x][a]=max(f[x][a],f[x][a-b]+f[num[i]][b]+(LL)(-b+2)*cost[i]);    }}int main(){  read(N); read(S); read(K);  for (int i=1;i<N;++i)  {    int x,y,z;    read(x); read(y); read(z); sum+=z;    addedge(x,y,z); addedge(y,x,z);  }    sum=sum+sum;  dfs(S);    LL ans=oo; ans=ans*ans;  for (int i=0;i<=K;++i) ans=min(ans,sum-f[S][i]);    cout << ans << endl;    return 0;}