前缀和优化

在了解之前，先来阐明几个基础概念：

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1.时间复杂度O(n):时间复杂度在算法中是一个重要概念，此处O为微积分概念，不做详解。我们可以简记一重循化时间复杂度即为O(n)，二重循环时间复杂度为O(n^2)，顺推三重循环即为O(n^3)。
e.g.

for(i=1;i<n;i++)    for (j=1;j<m;j++)        ……

该程序时间复杂度为O(n*m);
这里再附一篇文章进一步帮助了解http://m.blog.csdn.net/firefly_2002/article/details/8008987
2.区间和：即某一区间内所有有元素的和。
e.g.
无序序列：4 5 3 1 9 每个元素的位置记为1 2 3 4 5，此时［2,4］区间和为5+3+1=9。

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♢一维前缀和：
先来看这样一个问题：请求出101-1852区间内3的倍数的数的个数。这里我们可以先考虑计算一下1-1852区间内3的倍数的个数再计算1-101区间内3的倍数的个数，相减得到结果，看起来很靠谱的样子，我们可以计算一下：1852｜3-101｜3=583(“｜”是整除的意思)，貌似没错，那请继续看下面的例子：计算区间3-12间3的倍数的个数，我们还用上面的方法计算12|3-3|3=3，很明显这一区间内有四个数都是3的倍数，那么问题出在了哪里？ 问题出在端点上，如何解决？我们可以对左区间-1处理。

再举个栗子，我们仍以3的倍数为例计算，如果区间为[6-9]，那么这个区间中3的倍数的数的个数为2（6和9），这一结论与我们的公式是重合的,可以发现对左区间-1对结果并无影响。再来看，如果我们将左区间数减去2，好像仍然对结果无影响，但是你大可以仔细想想就能轻松举出反例（如区间[7-9],我们理想中的结果是1，但我们计算却发现结果是2），同理-3更无法成立。

好的给最终公式：r/k-（l-1）/k k即为所求的基数
下面我们就来具体讲解：

首先我们要引入一个f数组，这个数组有用么，当然。f数组存储了1+2+3+…….+n的大小，即1—n的所有数的和，这就是我们的主题，前缀和。比如f[4]=1+2+3+4=10; 知道了这个概念后我们先考虑一个问题：区间[101,1001]的区间和是多少？这时我们就应该返回到我们的第一个问题，是否可以先求解[1,1001]的区间和，再求出[1-101]的区间和，相减得到结论

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;int main(){   int sum=0;   for(int i=101;i<=1001;i++){      sum+=i;   }   cout<<sum;   return 0;}

这样当然可以但是应用起来不灵活
所以前缀和的思路：
f([0,1])=0+1
f([0,2])=0+1+2
f([0,3])=0+1+2+3
f([0,4])=0+1+2+3+4
对比一下可以发现随着右半区间数的递增,f数组的值不断的加右区间新数，而右区间以左的数较上一区间却未变。公式：f[n]=f[n-1]+a[n] (a[n]指代新数)
然后就很好懂了啊，代码：

#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;int f[10001],a[10001]; int main(){    int left,right;         //定义区间左右端点    cin>>left>>right;       //求某区间的区间和     memset(f,0,sizeof(f));  //数组清空     //先求出1-1001各数的前缀和 (预处理)    for(int i=1;i<=right;i++)        f[i]=f[i-1]+i;            //这里将序列定为单调递增序列，所以用i代a[i]，择情况而视      cout<<f[right]-f[left-1];    //输出区间和     return 0;} //预处理复杂度为O（n），查询复杂度为O（1）

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接下来我们进一步探讨二维的前缀和，也就是在平面内处理矩阵的问题

二维前缀和：
一维前缀和解决的是线性问题，也就是在一维状态下解决区间和问题，那么二维前缀和就是在平面内解决区间和问题，这里我们要再引入一个概念：矩阵。
这里我们需要了解的矩阵只是一个用数字填充的图的概念，如图即为一个3x3的数字矩阵：
1 2 3
4 5 6
7 8 9

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那么二维的的前缀和有什么用呢？
毫无疑问仍然是在解决区间和问题的应用，矩阵区间和？其实很简单，矩阵的区间和就是指某矩阵右下端点
至该矩阵左上端点的矩阵的所有元素的和（这里我们直接用矩阵右下端点来表示一个以右下端点到点（1,1）的矩阵）.
e.g.
矩阵
14 6 54
3 3 9
8 12 24
中（2,2）-（3，3）矩阵的矩阵区间和为3+9+12+24；
很简单吧（确实是这样），那么如果我们把这个矩阵扩展为10000*10000大小的矩阵，再去求矩阵区间和，不由得？？？？好吧，我们还是返回解释一维区间和的问题，类比一下，好像有了点思路，我们貌似可以先求出（3,3）的矩阵大小再减去（2,2）的矩阵大小，（jiang信jiang疑），但这是有问题的，画图求知：

如图（3,3）矩阵减去（2,2）矩阵得到的是黑色与橘色部分的和而非我们期待中的橘色部分。
那么如何解决呢，我们应该换个思路

这里我们就能够用到小学数学中的容斥原理：
S(4)=S(1+2+3+4)-S(1+3)-S(1+2)+S(1);

所以我们只要求解矩阵1+3,1+2，1,1+2+3+4的大小相减即可得到矩阵区间和，同样的我们引入二维f数组，代表某端点至（1,1）的矩阵大小：
e.g.有一个5x5的矩阵，请输入该矩阵的各个元素，并输入要求解的矩阵区间，上代码：

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;int f[101][101],a[10][10];int main(){    for(int i=1;i<=5;i++){      for(int j=1;j<=5;j++){         cin>>a[i][j];         f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]+a[i][j];      }    }    int x,x1,y,y1;    cin>>x>>y>>x2>>y2;    cout<<f[x2][y2]-f[x2][y-1]-f[x-1[y2]+f[x-1][y-1];    return 0;}

注意这里x-1,y-1是为了包含该矩阵边界