312. Burst Balloons【Hard】 区间动归

题目：给一个数组nums，代表n个气球上每个气球的数字。

现要求逐个扎破气球，每扎破第i个气球就取得nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1]个金币（nums[-1]  = nums[n] = 1），然后第i个气球消失，nums[i - 1]和nums[i + 1]相邻。

求最多可以获得多少金币。

思路：区间dp

dp[i][j]表示扎破第i到第j个气球后最多可以获得多少金币，那么最后的答案就是dp[0][n - 1]。

状态转移方程：假设i到j的气球里最后扎破的是第k个气球（i<=k<=j），i到j的气球里k的左和右的先后扎破顺序是不用理会的，

那么dp[i][j]的值为 max{dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j] + nums[i - 1] * nums[k] * nums[j + 1],  i <= k <= j}

出于方便，我额外设置了一些没有意义的值：

一、把nums前后各加了一个1，以此方便状态转移里的nums[i - 1] * nums[k] * nums[j + 1]；

二、dp[i + 1][i]（i = 0~n）本身是没有意义的，但是状态转移需要用到，所以将它设成0就行不会影响dp的结果了。

稍难，看了博客才想明白的。代码也写得不优美。

class Solution {public:int max(int s, int e, std::vector<std::vector<int> >& dp, vector<int>& nums) {int local_max = 0, temp;for (int j = s; j <= e; ++j) { // j is the last one to be bursttemp = dp[s][j - 1] + dp[j + 1][e] + nums[s - 1] * nums[j] * nums[e + 1];if (local_max < temp) local_max = temp;}return local_max;}    int maxCoins(vector<int>& nums) {    nums.push_back(1);    nums.push_back(1);        int l = nums.size(), n = l - 2;    for (int i = l - 1; i > 0; --i) nums[i] = nums[i - 1];    nums[0] = 1;vector<vector<int> > dp(l, vector<int>(l));for (int i = 1; i <= n; ++i) {dp[i][i] = nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1];dp[i][i - 1] = dp[i + 1][i] = 0;}for (int itv = 1; itv < n; ++itv) {for (int i = 1; i <= n - itv; ++i) {dp[i][i + itv] = max(i, i + itv, dp, nums);}}return dp[1][n];    }};