信息安全数学基础 第一篇-数论基础-第一章 整除

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信息安全数学基础 第一篇数论基础

第一章 整除

1 整数的除法

ab∈Z,b≠0,如果存在整数c，使a=bc,则称b整除a，记为b|a。

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b≠0,a|b⟹|a|≤|b|

a|b,b|a⟹b=±a

a|b,b|c⟹a|c

a|b,a|c⟺对任意t,s∈Z,a|tb+sc

m≠0,a|b⟺ma|mb

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[x] 为不超过x的最大整数

{x}为实数x的小数部分

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a，b为两个整数，b≠0，则存在唯一的一对整数q和r，使得a=qb+r,0≤r<b

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d为a，b的最大公约数，记为(a,b),或gcd(a,b)

(a,b)=1,则a，b互素，只有公约数±1.

m为a，b的最小公倍数，记为[a,b],或lcm(a,b).

(a,b)=(b,a)=(-a,b)=(a,-b)=(-a,-b)

[a,b]=[b,a]=[-a,b]=[a,-b]=[-a,-b]

若a|b,则(a,b)=|a|,[a,b]=|b|

对任意整数x，有(a,b)=(a,b+ax)

对任意整数d|a,有[a,b]=[a,b,d]

a|c,b|c⟺[a,b]|cd |a,d|b⟺d|(a,b)

(a,b,c)=((a,b),c) [a,b,c]=[[a,b],c]

m为正整数，则

m(a,b)=(ma,mb) m[a,b]=[ma,mb]

(m,a)=1⟹(m,ab)=(m,b)

(m,a)=1,m|ab⟹m|b

(a,b)=d⟹(ad,bd)=1

[a,b]=|ab|(a,b)

a,b为不全为0的整数⟹(a,b)=min{s:s=ax+by,x,y∈Z,s>0}

(a,b)=1时，任意整数n可以表示为n=ax+by,x,y均为整数。

(a,b)=1,⟹{s:s=ax+by,x,y∈Z}=Z

2 算数基本定理

算数基本定理又称唯一分解定理，是整除理论的中心内容之一，在初等数论中很重要。

正整数分为三类：1，素数，合数。

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p是素数，a1,a2,...,an是整数，其中n≥2,b∈Z,如果p|∏k=1nak,则∃i,1≤i≤n,使得p|ai.

算数基本定理：整数n>1,那必有n=∏i=1mpi,pi(1≤i≤m)为素数；若不计因子次序，这个分解式是唯一的。

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a=pα11...pαss,b=pβ11...pβss,

a|b⟺αi≤βi(1≤i≤s)

(a,b)=pe11...pess,ei=min{αi,βi}

[a,b]=pd11...pdss,di=max{αi,βi}

(a,b)[a,b]=ab

3 素数

素数有无穷个。

π(x)表示不超过x的素数的个数，x为任意正实数。

limx→+∞π(x)x=0

limx→+∞π(x)xlnx=1

整数n≥2,若n是合数，必有素数p|n,p≤n√.

Fermat数 Fn=22n+1,目前还不知道Fermat素数是否有无穷个。

形如Mp=2p−1的素数称为Mersenne素数。

n%4==3，n称为Blum素数，两个Blum素数的乘积称为Blum整数。

4 Euclid算法

欧几里得算法又叫辗转相除法。

int t;while(b){    t = a%b;    a = b;    b = t;}return a;