数论基础一 整除
来源:互联网 发布:ug数控编程视频教程 编辑:程序博客网 时间:2024/06/04 19:15
一 概念和记号
a整除b记做 a|b
a和b的最大公约数记作 gcd{a,b} 或 (a,b)
a和b的最小公倍数记作 lcm{a,b} 或 [a,b]
只能被1和该数自身整除的数称为素数,反之为合数
若(a,b)=1 称a,b互素
二 定理及常用推论
1 a,b为整数,b>0,则存在整数q和r,使得
a=qb+r, 0<=r<b
r称为b除a所得的最小正剩余
2 若b!=0,c!=0
1) 若b|a,c|b 则 c|a
2) 若b|a 则 bc|ac
3) 若c|d,c|e,则对任意的m,n 有c|(md+ne)
3 (a,b)有以下性质
1) 存在整数x,y 使得(a,b)=ax+by
2) 任给整数x,y 必有(a,b)|(ax+by)
3) 若c|a, c|b ,则 c|(a,b)
4 若a=qb+r 则
gcd{a,b}=±gcd{b,r}
5 每一对不全为零的整数,必有一个正的最大公因数。
6 任一自然数n都可唯一地表示为素数之和
n=(p1^a1)(p2^a2)...(pk^ak)
这里p1<p2<...<pk为素数,a1,a2,...,ak为自然数,^表示幂方
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