bzoj 1004 组合数学 + burnside引理 + 逆元

1004: [HNOI2008]Cards

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Description

　　小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有
多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方
案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.
两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗
成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数).

Input

　　第一行输入 5 个整数：Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)。n=Sr+Sb+Sg。
接下来 m 行，每行描述一种洗牌法，每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn，恰为 1 到 n 的一个排列，
表示使用这种洗牌法，第 i位变为原来的 Xi位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代
替，且对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

Output

　　不同染法除以P的余数

Sample Input

1 1 1 2 7
2 3 1
3 1 2

Sample Output

2

HINT

　　有2 种本质上不同的染色法RGB 和RBG，使用洗牌法231 一次可得GBR 和BGR，使用洗牌法312 一次 可得BRG

和GRB。

100%数据满足 Max{Sr,Sb,Sg}<=20。

题解：

首先我们确定这个题只能使用burnside 不能使用polya，因为每一种颜色的数量固定，且都会被用到

polya是在颜色数量确定，但是每一种颜色的数量无限的情况下计算答案的

对于burnside，我们知道是   所有置换的等价类的和  除以  置换种类数

置换种类：通过分析题意知道是  m+1

所有置换的等价类的和：其实就是多重集合的全排列，即 n！/ （a! * b! * c!）

然后两个式子相除得到答案，但是需要取模，所有需要用到逆元，扩展欧几里德搞一下就行了

如果不能理解是多重集合的全排列，我们可以这么想：

从 n 个里面取 a个染一种颜色，然后再从剩下的里面取 b 个染另外一种颜色，其余的染剩下的一种颜色，最后化简得到的式子和上面一样

/*************************************************************************    > File Name: main.cpp    > Author: ma6174    > Mail: [e-mail]     > Created Time: 2017年11月23日 星期四 03时22分28秒 ************************************************************************/#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;void ex_gcd(int a,int b,int& gcd,int& x,int& y){if(!b) gcd=a,x=1,y=0;else ex_gcd(b,a%b,gcd,y,x),y-=x*(a/b);}int main(){int a,b,c,m,p,x;//freopen("in.txt","r",stdin);while(scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&m,&p)!=EOF){int n=a+b+c;for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&x);long long up=1,down=1;for(int i=1;i<=a;i++)down=down*i%p;for(int i=1;i<=b;i++)down=down*i%p;for(int i=1;i<=c;i++)down=down*i%p;down=down*(m+1)%p;for(int i=1;i<=n;i++)up=up*i%p;int gcd,x,y;ex_gcd(down,p,gcd,x,y);printf("%lld\n",up*(x+p)%p);}return 0;}