隐函数存在定理

设 m,n∈N,m,n≥1, 考虑m 个 n+m 元函数组成的方程组：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪F1(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,F2(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,⋯⋯Fm(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,

定义：

∂(F1,F2,⋯,Fm)∂(y1,y2,⋯,ym)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂y1,∂F1∂y2,⋯,∂F1∂ym∂F2∂y2,∂F2∂y2,⋯,∂F2∂ym∂Fm∂y1,∂Fm∂y2,⋯,∂Fm∂ym∣∣∣∣∣∣∣∣∣

为函数 F1,F2,⋯,Fm 关于变量 y1,y2,⋯,ym 的 Jacobi 行列式。

设 m 个 n+m 元函数Fi(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym),i∈N,1≤i≤m 满足以下条件：

(1) Fi(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,i∈N,1≤i≤m；
(2) 在闭长方体
D={(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)||xi−x0i|≤a,|yj−y0j|≤b,
i,j∈N,1≤i≤n,1≤j≤m} 上， 函数 Fi(i∈N,1≤i≤m) 连续， 且具有
    连续偏导数；
(3) 在点 (x01,x02,⋯,x0n,y01,y02,⋯,y0m) 处，Jacobi 行列式

∂(F1,F2,⋯,Fm)∂(y1,y2,⋯,ym)≠0,

那么：
(1) 在点 (x01,x02,⋯,x0n,y01,y02,⋯,y0m) 的某个邻域上，可以从函数方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪F1(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,F2(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,⋯⋯Fm(x1,x2,⋯,xn,y1,y2,⋯,ym)=0,

唯一确定向量值隐函数

⎛⎝⎜⎜⎜⎜y1y2⋮ym⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜f1(x1,x2,⋯,xn)f2(x1,x2,⋯,xn)⋮fm(x1,x2,⋯,xn)⎞⎠⎟⎟⎟⎟

它满足方程
Fi(x1,x2,⋯xn,f1(x1,x2,⋯,xn),f2(x1,x2,⋯,xn),⋯,fm(x1,x2,⋯,xn))=0, 以及 y0i=fi(x01,x02,⋯,x0n),i∈N,1≤i≤m；
(2) 这个向量值隐函数在 O((x01,x02,⋯,x0n),ρ) 上连续；
(3) 这个向量值隐函数在 O((x01,x02,⋯,x0n),ρ) 上具有连续的导数， 且

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂y1∂x1∂y2∂x1⋮∂ym∂x1∂y1∂x2∂y2∂x2⋮∂ym∂x2⋯⋯⋯∂y1∂xn∂y2∂xn⋮∂ym∂xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂F1∂y1∂F2∂y1⋮∂Fm∂y1∂F1∂y2∂F2∂y2⋮∂Fm∂y2⋯⋯⋯∂F1∂ym∂F2∂ym⋮∂Fm∂ym⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂F1∂x1∂F2∂x1⋮∂Fm∂x1∂F1∂x2∂F2∂x2⋮∂Fm∂x2⋯⋯⋯∂F1∂xn∂F2∂xn⋮∂Fm∂xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟