欧拉函数及定理

ps：文章篇幅较长=_=（像我这种蒟蒻的证明当然又臭又长），请善用目录^_^

欧拉函数

定义

欧拉函数φ(n)表示1~n中所有与n互质的数。比如1~8中与8互质的数有1,3,5,7，所以φ(8)=4。

公式

ps：关于简系请移步剩余类、完系及简系。
公式1：如果p是素数，有φ(p)=p-1，这个很显然。
公式2（积性）：如果(a,b)=1，有φ(a*b)=φ(a)*φ(b)，证明如下：
设模a的一个简系为a1,a2,a3,…,aφ(a)，模b的一个简系为b1,b2,b3,…,bφ(b)
现在我们要证明：所有ai∗b+bj∗a（共φ(a)*φ(b)个）组成了模a*b的一个简系（即φ(a*b)=φ(a)*φ(b)）。判定简系需要证明下面三点：
1.(ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。
2.ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)
3.对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)（即没有遗漏）。
证明1：
因为(a,ai)=1,(a,b)=1，所以(a,ai*b)=1，由辗转相除法可得(a,ai*b+bj*a)=(a,ai*b)=1，同理得(b,ai*b+bj*a)=1。
所以1得证。
证明2：
假设存在ai∗b+bj∗a≡ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)，那么也就是说：
a∗(bj−bt)+b∗(ai−ak)≡0(mod a∗b)，即：
a∗b|a∗(bj−bt)+b∗(ai−ak)
所以a|a∗(bj−bt)+b∗(ai−ak),b|a∗(bj−bt)+b∗(ai−ak)
因为a|a∗(bj−bt)，所以a|b∗(ai−ak)，同理得b|a∗(bj−bt)
又因为(a,b)=1,ai-ak=a，同理得bj-bt=b
即ai≡ak(mod a),bj≡bt(mod b)
也就是说ai和ak是同一剩余类且bj和bt是同一剩余类，这与i!=k或j!=t矛盾（i!=k说明ai和ak不是同一剩余类，j!=t说明bj和bt不是同一剩余类，由于i!=k和j!=t至少有一个不成立，所以矛盾）。
所以2得证。
证明3：
设k≡x∗b+y∗a(mod a∗b)即k=x∗b+y∗a+t∗a∗b(t∈Z)（这是个不定方程，可以变形为x*b+y*a=k-t*a*b，由于(a,b)=1且(k,a*b)=1，所以一定有解，即k一定可以表示为这种形式）。
因为(k,a*b)=1，根据辗转相除法，得：
(x*b+y*a,a*b)=(x*b+y*a+t*a*b,a*b)=(k,a*b)=1
所以(x*b+y*a,a)=1,(x*b+y*a,b)=1,
根据辗转相除法，得(x*b,a)=1,(y*a,b)=1
因为(a,b)=1，所以(x,a)=1,(y,b)=1
所以x是a简系中的数，y是b简系中的数,即一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)。
所以3得证。
综上所述：所有ai∗b+bj∗a组成了模a*b的一个简系，即φ(a*b)=φ(a)*φ(b)。

所以φ(n)是积性函数（但不是完全积性，因为要满足(a,b)=1）。
有了这个公式，就可以推得欧拉函数的通项公式。

因为n=pk11∗pk22∗pk33∗…∗pkrr（p为质数），又因任意两个p互质（没有共同质因子），所以：
φ(n)=φ(pk11)*φ(pk22)*φ(pk33)*…*φ(pkrr)

现在需要知道φ(pk)如何计算：
因为p是质数，所以除了p的倍数之外，1~pk之间所有数都与pk互质。而易得1~pk之间p的倍数的个数是pkp，所以：
公式3：φ(pk)=pk-pkp=pk−pk−1=pk(1−1p)

代回原式，得：
φ(n)=pk11∗pk22∗pk33∗…∗pkrr∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗……∗(1−1pr)
而n=pk11∗pk22∗pk33∗…∗pkrr，得：
φ(n)=n∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗……∗(1−1pr)
这就是欧拉函数的通项公式。

求法

1.唯一分解
如果只求φ(n)，那么我们就直接将n唯一分解处理出每一个n的素数，然后用通项公式就行了。
效率：O(n√)

int phi(int n){    int sq=sqrt(n),ans=n;    for (int i=2;i<=sq;i++)        if (n%i==0)        {            ans=ans/i*(i-1);            while (n%i==0) n/=i;        }    if (n>1) ans=ans/n*(n-1);    return ans;}

2.筛法
如果要求φ(1~n)，用唯一分解就比较慢了，所以我们可以用筛法求出φ(1~n)，原理和筛素数是一样的。这里给出普通筛法以及线性筛法，但是要注意普通筛法用到的是通项公式，而线性筛法用到公式1、积性和公式3：
效率：O(n∗log22(n))

void make_phi(int n){    memset(phi,0,sizeof(phi));phi[1]=1;    for (int i=2;i<=n;i++) if (!phi[i])    for (int j=1;j<=n/i;j++)    {        if (!phi[i*j]) phi[i*j]=i*j;        phi[i*j]=phi[i*j]/i*(i-1);    }}

效率：O(n)

int make_phi(int n){    memset(vis,1,sizeof(vis));vis[0]=vis[1]=false;     phi[1]=1;    for (int i=2;i<=n;i++)    {        if (vis[i]) p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1; //用公式1        for (int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=n;j++)        {            vis[p[j]*i]=false;            if (i%p[j]) phi[p[j]*i]=phi[p[j]]*phi[i]; else            //i和p[j]互质，用积性            {phi[p[j]*i]=p[j]*phi[i];break;}            //i是p[j]倍数，用公式3        }    }}

拓展

1~n与n互质的所有数的和为：
n=1:n*φ(n)/2+1/2=1
n>1:n*φ(n)/2
其实很好求：如果(x,n)=1，那么(n-x,n)=1。也就是说与n互质的数是成对出现的，那么显然这些数的和为n*φ(n)/2（1比较特殊，需要特判）。

欧拉定理

内容

如果(a,p)=1，有aφ(p)≡1(mod p)。
由于当p是素数时φ(p)=p-1，所以ap−1≡1(mod p)，由此可见费马小定理是欧拉定理的特殊形式。

证明

设p的一个简系为r1,r2,r3,…,rφ(p)。
因为(a,p)=1，所以ar1,ar2,ar3…,arφ(p)也是p的一个简系。
所以ar1∗ar2∗ar3∗…∗arφ(p)≡r1∗r2∗r3∗…∗rφ(p)(mod p)
即aφ(p)∗r1∗r2∗r3∗…∗rφ(p)≡r1∗r2∗r3∗…∗rφ(p)(mod p)
所以p|(aφ(p)−1)∗r1∗r2∗r3∗…∗rφ(p)
因为(r1∗r2∗r3∗…∗rφ(p),p)=1
所以p|(aφ(p)−1)
所以aφ(p)−1≡0(mod p)即aφ(p)≡1(mod p)
欧拉定理得证。