向量范数与矩阵范数
来源:互联网 发布:node http 客户端ip 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 05:53
1.范数(norm)的意义
要更好的理解范数,就要从函数、几何与矩阵的角度去理解。
我们都知道,函数与几何图形往往是有对应的关系,这个很好想象,特别是在三维以下的空间内,函数是几何图像的数学概括,而几何图像是函数的高度形象化,比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。
但当函数与几何超出三维空间时,就难以获得较好的想象,于是就有了映射的概念,映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合。通常数学书是先说映射,然后再讨论函数,这是因为函数是映射的一个特例。
为了更好的在数学上表达这种映射关系,(这里特指线性关系)于是就引进了矩阵。这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合,而我们通常所说的基,就是这个集合的最一般关系。于是,我们可以这样理解,一个集合(向量),通过一种映射关系(矩阵),得到另外一个几何(另外一个向量)。
那么向量的范数,就是表示这个原有集合的大小。
而矩阵的范数,就是表示这个变化过程的大小的一个度量。
总结起来一句话,范数(norm),是具有“长度”概念的函数。
2.范数满足的三个特性
1.非负性:
2.齐次性:
3.三角不等式:
3.向量的范数
1-范数,计算方式为向量所有元素的绝对值之和。
2-范数,计算方式跟欧式距离的方式一致。
4.矩阵的范数
首先假设矩阵的大小为
1-范数,又名列和范数。顾名思义,即矩阵列向量中绝对值之和的最大值。
2-范数,又名谱范数,计算方法为
其中
F-范数,Frobenius范数,计算方式为矩阵元素的绝对值的平方和再开方。
5.在python里计算范数
numpy包里的linalg模块,是专门处理基本线性代数问题的模块。借助该模块中的norm()函数可以轻松计算向量与矩阵的范数。
先看看norm()方法的原型:
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再看看更为详细的计算说明:
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看到上面这个表以后,同学们应该特别清楚了吧。
6.上代码
看了上面的说明以后,必须亲自动手写写代码,验证一下。前面全是理论,最后自然要实践一把。talk is cheap, show me the code!
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让代码run起来:
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