第四章不定积分
第四章第一节不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足F ′ (x)=f(x)或DF(x)=f(x)dx,则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.如:sinx的原函数有−cosx,−cosx+C(C为常数)
问题：1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?
定理1.若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上存在原函数.
初等函数在定义区间上连续⟹初等函数在定义区间上存在原函数
定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的所有原函数为F(x)+C(C为任意常数)
证:1)∵(F(x)+C) ′ =F ′ (x)=f(x)∴F(x)+C是f(x)的原函数2)设Φ(x)是f(x)的任意原函数,即Φ ′ (x)=f(x)又知F ′ (x)=f(x)∴[Φ(x)−F(x)] ′ =Φ ′ (x)−F ′ (x)=f(x)−f(x)=0即Φ(x)−F(x)=C(常数) 故Φ(x)=F(x)+C
定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分,记作∫f(x)dx,其中∫–积分号；f(x)–被积函数；x–积分变量；f(x)dx–被积表达式若F ′ (x)=f(x),则∫f(x)dx=F(x)+C(C为任意常数)
例如：∫e x dx=e x +C∫x 2 dx=13 x 3 +C
不定积分的几何意义：f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.∫f(x)dx的图形–f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族
例1.设曲线通过点(1,2),且其上任意点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
解：∵y ′ =2x∴y=∫2xdx=x 2 +C2=1 2 +CC=1y=x 2 +1
从不定积分可知：(1)ddx [∫f(x)dx]=f(x)或d[∫f(x)dx]=f(x)dx(2)∫F ′ (x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C
二、基本积分表
(1)∫kdx=kx+C(k为任意常数)
(2)∫x μ dx=1μ+1 x μ+1 +C(μ≠−1)
(3)∫dxx =ln|x|+C
(4)∫dx1+x 2 =arctanx+C
(5)∫dx1−x 2 − − − − − √ =arcsinx+C
(6)∫cosxdx=sinx+C
(7)∫sinxdx=−cosx+C
(8)∫dxcos 2 x =∫sec 2 xdx=tanx+C
(9)∫dxsin 2 x =∫csc 2 xdx=−cotx+C
(10)∫secxtanxdx=secx+C
(11)∫cscxcotxdx=−cscx+C
(12)∫e x dx=e x +C
(13)∫a x dx=a x lna +C
例2.求∫dxxx √ 3
解：∫dxxx √ 3 =1−43 +1 x (−43 +1) +C=−3x √ 3 +C
例3.求∫sinx2 cosx2 dx.
解：∫sinx2 cosx2 dx=∫12 sinxdx=−12 cosx+C
三、不定积分的性质
1.∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k≠0)
2.∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
例4.求∫2 x (e x −5)dx.
解：∫2 x (e x −5)dx=∫(2e) x dx−5∫2 x dx=(2e) x ln(2e) −52 x ln2 +C=2 x [e x ln2+1 −5ln2 ]+C
例5.求∫tan 2 xdx.
解：∫tan 2 xdx=∫[sec 2 x−1]dx=∫sec 2 xdx−∫1dx=tanx−x+C
例6.求∫1+x+x 2 x(1+x 2 ) dx.
解：∫1+x+x 2 x(1+x 2 ) dx=∫[1x +11+x 2 ]dx=∫1x dx+∫11+x 2 dx=ln|x|+arctanx+C
例7.求∫x 4 1+x 2 dx.
解：∫x 4 1+x 2 dx=∫(x 2 +1)(x 2 −1)+11+x 2 dx=∫(x 2 −1)dx+∫11+x 2 dx=∫x 2 dx−∫dx+∫11+x 2 dx=13 x 3 −x+arctanx+C
例8.求∫1x 2 (1+x 2 ) dx.
解：∫1x 2 (1+x 2 ) dx=∫[1x 2 −1(1+x 2 ) ]dx=∫1x 2 dx−∫1(1+x 2 ) dx=−1x −arctanx+C
内容小结
1.不定积分的概念
原函数与不定积分的概念
不定积分的性质
基本积分表
2 直接积分法
利用恒等变形，积分性质及基本积分公式进行积分.
常用恒等变形方法(分项积分;加项减项;利用三角公式，代数公式)
练习
1.若e −x 是f(x)的原函数,则∫x 2 f(lnx)dx= − −
解：f(x)=(e −x ) ′ =−e −x ∫x 2 f(lnx)dx=∫x 2 (−e −lnx )dx=∫−xdx=−12 x 2 +C
2.若f(x)是e −x 的原函数,则∫f(lnx)x dx= − −
解：f(x)=∫e −x dx=−e −x +C 0 ∫f(lnx)x dx=∫−e −lnx +C 0 x dx=∫−1x +C 0 x dx=−∫1x 2 dx+C 0 ∫1x dx=1x +C 0 ln|x|+C
3.若f(x)的导函数为sinx,则f(x)的一个原函数是( B )
A.1+sinx;B.1−sinxC.1+cosx;D.1−cosx
解：f(x)=∫sinxdx=−cosx+CF(x)=∫(−cosx+C)dx=−sinx+Cx+C 1
4.求下列不定积分:(1)∫dxx 2 (1+x 2 ) ;(2)∫dxsin 2 xcos 2 x
解：(1)∫dxx 2 (1+x 2 ) =∫1x 2 dx−∫11+x 2 dx=−1x −arctanx+C(2)∫dxsin 2 xcos 2 x =∫dxsin 2 xcos 2 x =∫(sin 2 x+cos 2 x)dxsin 2 xcos 2 x =∫(sec 2 xdx+∫csc 2 x)dx=tanx−cotx+C
5.求不定积分∫e 3x +1e x +1 dx
解:∫e 3x +1e x +1 dx=∫(e x +1)(e 2x −e x +1)e x +1 dx=∫(e 2x −e x +1)dx=12 e 2x −e x +x+C
