NOIP2017解题报告

T1小凯的疑惑

根据裴蜀定理，一定存在ax+by==k的解(gcd(a,b)==1)
要求的是ax+by==k，且x<0||y<0,的最大解
那么一定有ax+by==k+1一定是组合法解
考虑两边同时减ax′+by′==1
得到 a(x−x′)+b(y−y′)==1
那么可以将x减小，也可以将y减小
令x”,y”为x为最小非负整数解时，ax"+by"==1的一组解
令x’,y’为y为最小非负整数解时，ax′+by′==1的一组解
要求最大的解k，一定有ax+by==k+1
且x < x” ,y < y’
那么答案就是a(x"−1)+b(y′−1)−1

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;typedef long long ll;inline void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){    if(!b){        d=a;        x=1;        y=0;        return ;    }    else {        exgcd(b,a%b,d,y,x);        y-=(a/b)*x;    }}int main(){    freopen("2017math.in","r",stdin);    freopen("2017math.out","w",stdout);    ll a,b;    scanf("%lld %lld",&a,&b);    ll d,x,y;    exgcd(a,b,d,x,y);    ll xx=a/d,yy=b/d;    x=(x%yy+yy)%yy;    y=(y%xx+xx)%xx;    printf("%lld\n",(long long)a*(x-1)+(long long)b*(y-1)-1);return 0;}

T2时间复杂度

手写一个栈模拟即可

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;char A[1010];char B[1010];int vis[30];int s[1010];int pp[1010];int bl[1010];inline void init(){    memset(vis,0,sizeof(vis));    memset(s,0,sizeof(s));    memset(pp,0,sizeof(pp));    memset(bl,0,sizeof(bl));}int main(){    freopen("2017complexity.in","r",stdin);    freopen("2017complexity.out","w",stdout);    int T;    scanf("%d",&T);    int L;    while(T--){        init();        scanf("%d",&L);        //printf("%d\n",L);        int timt=0;        scanf("%s",A);        int len=strlen(A);        int pcnt=0;        for(int i=0;i<len;){            if(i!=0&&A[i-1]!='^'&&A[i]>='0'&&A[i]<='9'){                int x=0;                while(i<len&&A[i]>='0'&&A[i]<='9'){                    x=x*10+A[i]-'0';                    i++;                }                timt=x;            }            else if(i!=0&&A[i-1]=='^'&&A[i]>='0'&&A[i]<='9'){                int x=0;                while(i<len&&A[i]>='0'&&A[i]<='9'){                    x=x*10+A[i]-'0';                    i++;                }                pcnt=x;            }            else i++;        }        scanf("\n");        int snum=0;        int eok=0;        int pclt=0;        int blk=0;        int pcltma=0;        for(int i=1;i<=L;i++){            gets(B);            int le=strlen(B);            if(B[0]=='E'){                if(!snum){                    eok=1;                    continue;                }                else {                    vis[s[snum]]=0;                    if(pp[snum]){                        pclt--;                        pp[snum]=0;                    }                    if(bl[snum]){                        blk--;                        bl[snum]=0;                    }                    snum--;                }            }            else if(B[0]=='F'){                int hav_x=0,hav_a=0,hav_b=0;                int a=0,b=0;                int aen=0,ben=0;                for(int j=1;j<le;j++){                    if(B[j]>='a'&&B[j]<='z'){                        if(!hav_x){                            hav_x=1;                            if(vis[B[j]-'a'])                                eok=1;                            vis[B[j]-'a']=1;                            s[++snum]=B[j]-'a';                        }                        else if(!hav_a){                            hav_a=1;                            aen=1;                        }                        else if(!hav_b){                            hav_b=1;                            ben=1;                        }                    }                    else if(B[j]>='0'&&B[j]<='9'){                        if(!hav_a){                            hav_a=1;                            while(j<le&&B[j]>='0'&&B[j]<='9'){                                a=a*10+B[j]-'0';                                j++;                            }                            j--;                        }                        else if(!hav_b){                            hav_b=1;                            while(j<le&&B[j]>='0'&&B[j]<='9'){                                b=b*10+B[j]-'0';                                j++;                            }                            j--;                        }                    }                }                if(!aen&&ben&&!blk){                    pclt++;                    pp[snum]=1;                }                if(!aen&&!ben&&a>b)                    blk++,bl[snum]=1;                if(aen&&!ben)                    blk++,bl[snum]=1;            }            pcltma=max(pcltma,pclt);        }        if(snum)            eok=1;        if(eok)            puts("ERR");        else if(pcnt){            if(pcltma==pcnt)                puts("Yes");            else puts("No");        }        else {            if(!pclt)                puts("Yes");            else puts("No");        }    }return 0;}

T3逛公园

令f[i][l]为到第i个点，比从第1个点到第i个点最短路长l的方案数
容易写出dp方程
f[i][l]=∑jf[j][l+dis[i]−dis[j]−w[j][i]]
0≤l+dis[i]−dis[j]−w[j][i]≤k
但这个dp是有后效性的
将f[i][l]拆成k+1个点，再建边跑topo-sort或记忆化搜索
用tarjan判断是否有0环
时间复杂度O(n*k)

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <queue>#include <vector>using namespace std;const int maxn=100000+10;vector<int>A[maxn];vector<int>C[maxn];vector<int>B[maxn];vector<int>D[maxn];vector<int>Z[maxn];int p,n;int dfn[maxn],low[maxn],ins[maxn],s[maxn];int f[maxn][60];int inz[maxn];int top;int dis[maxn],vis[maxn],rdis[maxn];int add[maxn][60];queue<int>q;int ind;int k;inline void tarjan(int x){    dfn[x]=low[x]=++ind;    s[++top]=x;    ins[x]=1;    for(int i=0;i<Z[x].size();i++){        int u=Z[x][i];        if(!dfn[u]){            tarjan(u);            low[x]=min(low[x],low[u]);        }        else if(ins[u])            low[x]=min(low[x],low[u]);    }    if(dfn[x]==low[x]){        int t=top,cnt=0;        while(s[t]!=x)            cnt++,t--;        cnt++;        while(s[top]!=x){            if(cnt>1)                inz[s[top]]=1;            ins[s[top]]=0;            top--;        }        if(cnt>1)            inz[s[top]]=1;        ins[s[top]]=0;        top--;    }}inline void cle(){    top=ind=0;    memset(f,0,sizeof(f));    memset(inz,0,sizeof(inz));    memset(add,0,sizeof(add));    memset(dfn,0,sizeof(dfn));    for(int i=1;i<=n;i++){        A[i].clear();        B[i].clear();        C[i].clear();        D[i].clear();        Z[i].clear();    }}inline int fuc(int x,int d){    if(add[x][d])        return f[x][d];    add[x][d]=1;    if(x==1&&d==0)        return f[x][d]=1;    for(int i=0;i<B[x].size();i++){        int u=B[x][i];        int t=dis[x]+d-D[x][i]-dis[u];        if(t>k||t<0)            continue;        f[x][d]+=fuc(u,t);        if(f[x][d]>=p)            f[x][d]-=p;    }    return f[x][d];}int main(){    freopen("2017park.in","r",stdin);    freopen("2017park.out","w",stdout);    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        int m;        scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&k,&p);        cle();        int x,y,z;        for(int i=1;i<=m;i++){            scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);            //printf("%d %d %d\n",x,y,z);            A[x].push_back(y);            C[x].push_back(z);            B[y].push_back(x);            D[y].push_back(z);            if(!z)                Z[x].push_back(y);        }        for(int i=1;i<=n;i++)            if(!dfn[i])                tarjan(i);        memset(dis,127/2,sizeof(dis));        dis[1]=0;        vis[1]=1;        q.push(1);        while(!q.empty()){            x=q.front();            q.pop();            for(int i=0;i<A[x].size();i++){                int u=A[x][i];                if(dis[u]>dis[x]+C[x][i]){                    dis[u]=dis[x]+C[x][i];                    if(!vis[u]){                        vis[u]=1;                        q.push(u);                    }                }            }            vis[x]=0;        }        memset(rdis,127/2,sizeof(rdis));        rdis[n]=0;        vis[n]=1;        q.push(n);        while(!q.empty()){            x=q.front();            q.pop();            for(int i=0;i<B[x].size();i++){                int u=B[x][i];                if(rdis[u]>rdis[x]+D[x][i]){                    rdis[u]=rdis[x]+D[x][i];                    if(!vis[u]){                        vis[u]=1;                        q.push(u);                    }                }            }            vis[x]=0;        }        int ok=0;        if(n==1){            puts("0");            continue;        }        for(int i=1;i<=n;i++)            if(dis[i]+rdis[i]<=dis[n]+k&&inz[i]){                ok=1;                break;            }        if(ok){            puts("-1");            continue;        }        int ans=0;        for(int d=0;d<=k;d++){            ans+=fuc(n,d);            if(ans>=p)                ans-=p;        }        printf("%d\n",ans);    }return 0;}

T4奶酪

直接暴力建边跑bfs,并查集什么的
时间复杂度O(n)

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <queue>using namespace std;const int maxn=1000+10;double x[maxn],y[maxn],z[maxn];int vis[maxn];int to[maxn][maxn];int top[maxn];queue<int>q;inline double dist(int i,int j){    return sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j])+(z[i]-z[j])*(z[i]-z[j]));}int main(){    freopen("2017cheese.in","r",stdin);    freopen("2017cheese.out","w",stdout);    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        memset(to,0,sizeof(to));        memset(vis,0,sizeof(vis));        int n;        double h,r;        scanf("%d %lf %lf",&n,&h,&r);        for(int i=1;i<=n;i++)            scanf("%lf %lf %lf",&x[i],&y[i],&z[i]);        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=i+1;j<=n;j++){                if(dist(i,j)<=2*r)                    to[i][j]=to[j][i]=1;            }        for(int i=1;i<=n;i++)            if(z[i]-r<=0){                q.push(i);                vis[i]=1;            }        while(!q.empty()){            int x=q.front();            q.pop();            for(int i=1;i<=n;i++)                if(to[x][i]&&!vis[i]){                    vis[i]=1;                    q.push(i);                }        }        int ok=0;        for(int i=1;i<=n;i++)            if(z[i]+r>=h&&vis[i])                ok=1;        if(ok)            puts("Yes");        else puts("No");    }return 0;}

T5宝藏

状压dp
令f[i]为状态为i时，最小代价
令dep[i][j]为状态为i时，第j个点的深度
f[i(1<<(k−1))]=min(f[i]+w[u][k])
i&(1<<(u-1))
枚举子集转移O(3^n)
枚举根时间复杂度O(n),枚举用哪个点转移O(n)
时间复杂度O(3^n*n^2)

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <vector>using namespace std;const int maxn=(1<<12)+10;int dep[maxn][13];int f[maxn];vector<int>A[13];vector<int>C[13];int n;int ans=0x7fffffff;inline void work(int x){    memset(f,127/2,sizeof(f));    f[1<<(x-1)]=0;    memset(dep[1<<(x-1)],0,sizeof(dep[1<<(x-1)]));    dep[1<<(x-1)][x]=1;    int top=(1<<n);    for(int i=0;i<top;i++){        if(f[i]==f[top])            continue;        for(int j=1;j<=n;j++){            if(i&(1<<(j-1)))                continue;            for(int k=0;k<A[j].size();k++){                int u=A[j][k];                if(i&(1<<(u-1))){                    if(f[i|(1<<(j-1))]>f[i]+dep[i][u]*C[j][k]){                        f[i|(1<<(j-1))]=f[i]+dep[i][u]*C[j][k];                        for(int l=1;l<=n;l++)                            dep[i|(1<<(j-1))][l]=dep[i][l];                        dep[i|(1<<(j-1))][j]=dep[i][u]+1;                    }                }            }        }    }    ans=min(ans,f[top-1]);}int main(){    freopen("2017treasure.in","r",stdin);    freopen("2017treasure.out","w",stdout);    int m;    scanf("%d %d",&n,&m);    int x,y,z;    for(int i=1;i<=m;i++){        scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);        A[x].push_back(y);        C[x].push_back(z);        A[y].push_back(x);        C[y].push_back(z);    }    for(int i=1;i<=n;i++)        work(i);    printf("%d\n",ans);return 0;}

T6列队

考虑每行其实是一个等差数列
最后一列也是个等差数列
每次操作相当于把一个等差数列分裂成最多两个公差相等的等差数列
然后再把取出的元素放到最后一列的末端
对于”向前看齐”操作也是一样的,不过是把取出的元素放到了该行的等差数列的末端
那么最多有O(3*q+n+1)个等差数列
空间复杂度O(n)
可以用平衡树维护插入删除
时间复杂度O(qlogn)

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxn=300000+10;typedef long long ll;int tr[maxn*8][2];int size[maxn*8];ll fr[maxn*8];int len[maxn*8];int fa[maxn*8];int tot=0;int root[maxn];inline void pushup(int x){    int l=tr[x][0],r=tr[x][1];    size[x]=size[l]+size[r]+len[x];}inline void rotate(int x,int &k){    int y=fa[x],z=fa[y];    int l=tr[y][1]==x;    int r=l^1;    if(y==k)        k=x;    else tr[z][tr[z][1]==y]=x;    fa[y]=x;    fa[x]=z;    fa[tr[x][r]]=y;    tr[y][l]=tr[x][r];    tr[x][r]=y;    pushup(y);    pushup(x);}inline void splay(int x,int &k){    int y,z;    while(x!=k){        y=fa[x],z=fa[y];        if(y!=k){            if((tr[z][1]==y)^(tr[y][1]==x))                rotate(x,k);            else rotate(y,k);        }        rotate(x,k);    }}inline int find(int x,int k,int &num){    int l=tr[x][0],r=tr[x][1];    if(size[l]+1<=k&&size[l]+len[x]>=k){        num=k-size[l];        return x;    }    else if(size[l]>=k)        return find(l,k,num);    else return find(r,k-size[l]-len[x],num);}int main(){    freopen("2017phalanx.in","r",stdin);    freopen("2017phalanx.out","w",stdout);    int n,m,q;    scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);    for(int i=1;i<=n;i++){        root[i]=++tot;        size[tot]=m+1;        fr[tot]=1ll*(i-1)*m+1;        len[tot]=m-1;        int u=tot;        tr[u][0]=++tot;        fa[tot]=root[i];        len[tot]=size[tot]=1;        tr[u][1]=++tot;        fa[tot]=root[i];        len[tot]=size[tot]=1;    }    root[n+1]=++tot;    size[tot]=n+2;    fr[tot]=m;    len[tot]=n;    int u=tot;    tr[u][0]=++tot;    fa[tot]=root[n+1];    len[tot]=size[tot]=1;    tr[u][1]=++tot;    fa[tot]=root[n+1];    len[tot]=size[tot]=1;    int x,y;    while(q--){        scanf("%d %d",&x,&y);        long long id;        if(y!=m){            int u;            int t=find(root[x],y+1,u);            printf("%lld\n",id=(long long)u-1+fr[t]);            int nu;            int p=find(root[x],y-u+1,nu);            splay(p,root[x]);            p=find(root[x],len[t]-u+y+2,nu);            splay(p,tr[root[x]][1]);            tr[p][0]=0;            pushup(p);            pushup(root[x]);            int hvl=0;            if(u!=1){                hvl=1;                tr[p][0]=++tot;                fa[tot]=p;                fr[tot]=fr[t];                len[tot]=size[tot]=u-1;                pushup(p);            }            if(u!=len[t]){                if(hvl){                    tr[tr[p][0]][1]=++tot;                    fa[tot]=tr[p][0];                    fr[tot]=u+fr[t];                    len[tot]=size[tot]=len[t]-u;                    pushup(tr[p][0]);                    pushup(p);                }                else {                    tr[p][0]=++tot;                    fa[tot]=p;                    fr[tot]=u+fr[t];                    len[tot]=size[tot]=len[t]-u;                    pushup(p);                }            }            pushup(root[x]);            t=find(root[n+1],x+1,u);            p=find(root[x],m-1,nu);            splay(p,root[x]);            tr[tr[root[x]][1]][0]=++tot;            fa[tot]=tr[root[x]][1];            fr[tot]=fr[t]+(long long)(u-1)*m;            len[tot]=size[tot]=1;            p=find(root[n+1],x-u+1,nu);            splay(p,root[n+1]);            p=find(root[n+1],len[t]-u+x+2,nu);            splay(p,tr[root[n+1]][1]);            tr[p][0]=0;            pushup(p);            pushup(root[n+1]);            hvl=0;            if(u!=1){                hvl=1;                tr[p][0]=++tot;                fa[tot]=p;                fr[tot]=fr[t];                len[tot]=size[tot]=u-1;                pushup(p);            }            if(u!=len[t]){                if(hvl){                    tr[tr[p][0]][1]=++tot;                    fa[tot]=tr[p][0];                    fr[tot]=(long long)u*m+fr[t];                    len[tot]=size[tot]=len[t]-u;                    pushup(tr[p][0]);                    pushup(p);                }                else {                    tr[p][0]=++tot;                    fa[tot]=p;                    fr[tot]=(long long)u*m+fr[t];                    len[tot]=size[tot]=len[t]-u;                    pushup(p);                }            }            pushup(root[n+1]);        }        else {            int t,p,u,nu;            t=find(root[n+1],x+1,u);            printf("%lld\n",id=(long long)(u-1)*m+fr[t]);            p=find(root[n+1],x-u+1,nu);            splay(p,root[n+1]);            p=find(root[n+1],len[t]-u+x+2,nu);            splay(p,tr[root[n+1]][1]);            tr[p][0]=0;            pushup(p);            int hvl=0;            if(u!=1){                hvl=1;                tr[p][0]=++tot;                fa[tot]=p;                fr[tot]=fr[t];                len[tot]=size[tot]=u-1;                pushup(p);            }            if(u!=len[t]){                if(hvl){                    tr[tr[p][0]][1]=++tot;                    fa[tot]=tr[p][0];                    fr[tot]=(long long)u*m+fr[t];                    len[tot]=size[tot]=len[t]-u;                    pushup(tr[p][0]);                    pushup(p);                }                else {                    tr[p][0]=++tot;                    fa[tot]=p;                    fr[tot]=(long long)u*m+fr[t];                    len[tot]=size[tot]=len[t]-u;                    pushup(p);                }            }            pushup(root[n+1]);        }        int tu;        int l=find(root[n+1],n,tu);        splay(l,root[n+1]);        tr[tr[l][1]][0]=++tot;        fa[tot]=tr[l][1];        fr[tot]=id,len[tot]=size[tot]=1;        pushup(tr[l][1]);        pushup(l);        splay(tot,root[n+1]);    }return 0;}