复杂网络之无标度网络的界限

物理学，生物学，社会学发展至今,人们同时意识到这样一个问题：世界的多彩并不包含在于组成系统的个体之中,而存在于个体之间的关系。例如原子的组织方式就决定了物质的宏观性质，有时候我们甚至不需要关心某一个系统的基本构成砖块究竟是什么。这种个体之间的组织关系，可以抽象成一个图来表示。而由于真实世界系统的庞大和复杂，我们称之为复杂网络[1]。

   而通过近年人们对于复杂系统的研究，发现系统所对应的网络往往伴随着各种各样的幂律行为[2]。幂律行为具有如此的普遍性，彻底改变了人们对于宏观系统的传统认识。在传统的研究中，人们往往假定个体是孤立的，从而通过中央极限定律得到高斯分布。而幂律的普遍出现，往往从本质上改变了系统的功能，使得之前的高斯假设完全不能够适用。那么很多基于高斯假设的传统理论是否还正确，很多适用于高斯条件下的研究方法、刻画指标是否在幂律条件下也能适用，这些都需要重新验证。

   度相关性是网络的基本结构特征之一，它对网络功能有重要影响。最常见的方式是借用Pearson相关系数来定量刻画网络的相关性[3]。Barabasi和Albert[4]对万维网的研究发现，一个网页存在恰好k个链接的概率服从幂律分布，具有很强的异质性。网络中的这种幂律特性对网络的结构和性质到底有何影响？Baek[5]等人对幂律网络在热力学极限下是否存在进行了研究，发现只有幂指数服从一定条件的幂律网络才可能在热力学极限下存在。在他们研究的基础之上，本文探索了网络的异质性对网络度相关性变化范围的影响。我们解析得到了幂律网络度分布下度相关系数的下界，发现它并不等于-1，而是依赖于幂律分布的幂指数。这说明无法简单的通过度相关系数说明一个幂律系统是正关联还是负关联，传统的统计方法存在缺陷。

[1] M. E. J. Newman, A.-L. Barabasi, D. J. Watts, The structure and dynamics of networks (PrincetonUniversity Press, 2011).

[2] A. Clauset, C. R. Shalizi, M. E. J. Newman, SIAM Rev.51, 661 (2009).

[3]M. E. J. Newman, Phys. Rev. Lett.89, 208701 (2002).

[4] A.-L. Barabasi, R. Albert, Science286, 509 (1999).

[5] Y. Baek, D. Kim, M. Ha, H. Jeong, Phys. Rev. Lett.109, 118701 (2012).

论文信息

D. Yang, L. Pan, T. Zhou, Lower bound of assortativitycoefficient in scale-free networks, Chaos 27 (2017) 033113.