51nod 1486 大大走格子（组合数学+容斥）

Description

有一个h行w列的棋盘，里面有一些格子是不能走的，现在要求从左上角走到右下角的方案数。

Input

单组测试数据。
第一行有三个整数h, w, n(1 ≤ h, w ≤ 10^5, 1 ≤ n ≤ 2000)，表示棋盘的行和列，还有不能走的格子的数目。
接下来n行描述格子，第i行有两个整数ri, ci (1 ≤ ri ≤ h, 1 ≤ ci ≤ w)，表示格子所在的行和列。
输入保证起点和终点不会有不能走的格子。

Output

输出答案对1000000007取余的结果。

Input示例

3 4 22 22 3

Output示例

2

解题思路

用ans[i]代表从起点走到第i个障碍格子且中间不经过其他障碍格子的方案数(终点也要算作障碍格子)，
则ans[i]=Cx[i]−1x[i]+y[i]−1+∑ij=0(Cx[i]−x[j]x[i]−x[j]+y[i]−y[j]∗ans[j]).
具体思考过程：

要计算从坐上角走到右下角的方案数，我们可以借助不能走的地方来过渡进行计算，如图所示为一个4*8的网格，①②为不能走的格子，我们求解的思路可以转化为：
先求解（起点->①）方案数=Cx1−1x1+y1−2;
再求解（起点->②）=先忽略①存在求得的（起点->②）-（起点-> ①）*（①->②）=Cx2−1x2+y2−2−①∗Cx2−x1x2−x1+y2−y1；
最后可得（起点->终点）=忽略①②求得的（起点->终点）-（起点->①）∗（①->终点）-（起点->②）∗（②->终点）=Cxh−1xh+yw−2−①∗Cxh−x1xh−x1+yw−y1−②∗Cxh−x2xh−x2+yw−y2。
如此类推即可.

代码实现

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define maxn 2007#define maxx 100007*2typedef long long ll;const ll mod=1e9+7;ll ans[maxn],fac[maxx],inv[maxx];struct node{    int x;    int y;}point[maxn];bool cmp(node a,node b){    if(a.x==b.x)        return a.y<b.y;    return a.x<b.x;}ll quick_pow(ll a,ll b){    ll ans=1;    a%=mod;    while(b>0)    {        if(b%2)            ans=(ans*a)%mod;        a=(a*a)%mod;        b/=2;    }    return ans;}void init(){    fac[0]=1;    inv[0]=1;    for(int i=1;i<maxx;i++)    {        fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;        inv[i]=quick_pow(fac[i],mod-2);    }}int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    int h,w,n;    cin>>h>>w>>n;    for(int i=0;i<n;i++)        cin>>point[i].x>>point[i].y;    point[n].x=h,point[n].y=w;    sort(point,point+n+1,cmp);    init();    for(int i=0;i<=n;i++)    {        int tx1=point[i].x,ty1=point[i].y;        ans[i]=fac[tx1+ty1-2]*inv[tx1-1]%mod*inv[ty1-1]%mod;        for(int j=0;j<i;j++)        {            int tx2=point[j].x,ty2=point[j].y;            if(tx2>tx1||ty2>ty1) continue;            ans[i]=ans[i]-ans[j]*(fac[ty1-ty2+tx1-tx2]*inv[tx1-tx2]%mod*inv[ty1-ty2]%mod)%mod;            ans[i]=(ans[i]%mod+mod)%mod;        }    }    cout<<ans[n]<<endl;    return 0;}