51 nod 1486 大大走格子 容斥原理+组合数学+dp

1486 大大走格子
题目来源： CodeForces
基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 160 难度：6级算法题
有一个h行w列的棋盘，里面有一些格子是不能走的，每次只能往下、往右走。现在要求从左上角走到右下角的方案数。
Input
单组测试数据。
第一行有三个整数h, w, n(1 ≤ h, w ≤ 10^5, 1 ≤ n ≤ 2000)，表示棋盘的行和列，还有不能走的格子的数目。
接下来n行描述格子，第i行有两个整数ri, ci (1 ≤ ri ≤ h, 1 ≤ ci ≤ w)，表示格子所在的行和列。
输入保证起点和终点不会有不能走的格子。
Output
输出答案对1000000007取余的结果。
Input示例
3 4 2
2 2
2 3

Output示例

2

题解：很容易想到这是一道dp的题，很容易写出方程dp【i】【j】=dp【i-1】【j】+dp【i】【j-1】。这可是杨辉三角一般的方程啊，好啦，结论出来啦，从左上走到右下直接=C(m+n-2,m-1)。但这道题有一些格子不能走，那么补集思想就来啦，用总方案数-经过非法格点的方案数=合法方案数。非法格点方案数=(经过一个非法格点方案数-进过两个非法格点方案数+经过三个非法格点方案数……）（容斥原理：奇加偶减），现在难点就在怎么求经过i个非法格点方案数。通过之前的dp已经求出左上到任意格点的距离，包括非法格点，那么可以通过非法格点之间的来找。先将非法格点按x，y坐标排序，目的是枚举走到非法格点i可以经过的其他非法格点，找出两个非法格i，j(i 在j之后)点之间的路径条数num，则这num条路径就不合法，f【i】表示走大非法节点i不经过其他非法节点的数量，f【i】=f【i】-f【j】*num，因为是层层往后推的，所以讲（n，m）也视为非法节点，则答案为dp【（n，m）】。为什么这是容斥原理呢，可以证明：f【i】-f【j】*num，其中可以把f【j】拆成f【j】-f【k】*num~,因为是减法，所以最终推到终点的时候满足奇加偶减。

总结：容斥原理可以是明显的，也可以是不明显的，比如本题就不太明显，以后要一个阶段一个阶段的分析，找出阶段之间的重复部分，合理容斥。

#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cstdio>#define N 2100000#define x1 (point[i].x)#define y1 (point[i].y)#define x2 (point[j].x)#define y2 (point[j].y)#define calc(m,n) (re[m]*inv[n]%mod*inv[m-n]%mod)%mod#define rdx(i) point[i].x=read()#define rdy(i) point[i].y=read()using namespace std;int n,m,k;long long dp[N],inv[N],re[N];long long mod=1e9+7;inline int read(){    int ra,fh;char rx;    rx=getchar(),ra=0,fh=1;    while((rx<'0'||rx>'9')&&rx!='-')rx=getchar();    if(rx=='-')fh=-1,rx=getchar();    while(rx>='0'&&rx<='9')ra*=10,ra+=rx-48,rx=getchar();return ra*fh;}struct node{int x,y;}point[N];bool cmp(node a,node b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;}long long get_inv(long long x){long long ans=1;long long y=mod-2;while(y){if(y&1) ans=ans*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;}return ans;}void init(){re[0]=1;int tm=m+n-2;for(int i=1;i<=tm;i++)    re[i]=re[i-1]*i%mod;inv[tm]=get_inv(re[tm]);for(int i=tm-1;i>=0;i--)    inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;return ;}int main(){n=read();m=read();k=read();for(int i=1;i<=k;i++) rdx(i),rdy(i);sort(point+1,point+1+k,cmp);point[++k].x=n;point[k].y=m;init();for(int i=1;i<=k;i++){ int a=point[i].x+point[i].y-2,b=point[i].x-1;dp[i]=calc(a,b)%mod;for(int j=1;j<i;j++)    if(x1>=x2 && y1>=y2)    {    int ce=(x1-x2+y1-y2);    int xe=(x1-x2);        dp[i]=(dp[i]-dp[j]*calc(ce,xe)%mod+mod)%mod;} }printf("%lld\n",dp[k]);return 0;}