博弈论基础 Nim博弈 取(m堆)石子游戏 HDU

Descrption

m堆石子,两人轮流取.只能在1堆中取.取完者胜.先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出怎样取子.例如5堆 5,7,8,9,10先取者胜,先取者第1次取时可以从有8个的那一堆取走7个剩下1个,也可以从有9个的中那一堆取走9个剩下0个,也可以从有10个的中那一堆取走7个剩下3个.

Input

输入有多组.每组第1行是m,m<=200000. 后面m个非零正整数.m=0退出.

Output

先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出先取者第1次取子的所有方法.如果从有a个石子的堆中取若干个后剩下b个后会胜就输出a b.参看Sample Output.

Sample Input

2
45 45
3
3 6 9
5
5 7 8 9 10
0

Sample Output

No
Yes
9 5
Yes
8 1
9 0
10 3

题意分析:

这一题是最经典的 Nim博弈的例题。

Nim博弈讲的是如果现在给你m堆物品，每一堆的个数为mi，你可以任选一堆取若干物品，如果是两个人轮流玩这个游戏，最后取物品的玩家获胜。那么Nim博弈对应的必败局势首先应该是(0，0，0，…，0)这种情况。那么其他的必败情形是什么呢?我们不妨先看下只有两堆的情况。很显然由(0，0)可直接到达的状态是(0，X)，X是任意的整数，这些是必胜态。接下来根据mex运算，我们得到(1，1)是没有可连边到必败态的，那么(1，1)就是第一个必败态。接下来，(1，1+p)，p>0,p为整数就是必胜态。同理，mex运算又告诉我们，(2，2)下一个是必败态。以此类推，那么每个( X,X)都是必败态。这是m=2的情况，当m更多的时候呢?我们如果能将当前的状态转换为(X,X,0,0,…,0)的时候，这便是必胜状态。比如说有三堆时，若为(X,X,P)时就是必胜态。。。。。接着递推后我们可以推出:若这m个数的亦或值为0，那么就是必败态!
学会判断状态后还有一个问题:若必胜，如何输出第一步的操作?根据亦或运算性质:亦或运算的逆元是自己(除了0)，单位元是0。那么我们可以这样设计算法:遍历每一个Mi，然后做Mi^XorSum，我们就得到除了当前元素其他所有Mi的亦或和，然后如果这个值比当前Mi大即可，其差值就是我们这一步要拿掉物品的数量。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int rec[200002];int main(){   ios::sync_with_stdio(0);   int m;   while(cin>>m&&m)   {    int ans=0;    for(int i=0;i<m;i++)    {        cin>>rec[i];        ans^=rec[i];    }    if(ans==0) cout<<"No\n";    else    {        cout<<"Yes\n";        for(int i=0;i<m;i++)        {            if(int(ans^rec[i])<rec[i])            {                cout<<rec[i]<<' '<<int(rec[i]^ans)<<'\n';            }        }    }   }   return 0;}