极大似然估计（MLE）和贝叶斯估计（MAP）

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极大似然估计与贝叶斯估计是统计中两种对模型的参数确定的方法，两种参数估计方法使用不同的思想。
前者来自于频率派，认为参数是固定的，我们要做的事情就是根据已经掌握的数据来估计这个参数（上帝眼中参数θ早已经固定了，带入xi样本来求θ，根据样本来求θ，最大的值就是最大的估计，就是我们认为固定的值）：X=(x1,x2...xn)样本集
p(X|θ)=∏ni=1(xi|θ)
一般取对数，求偏导数得出θ
MLE的初衷就是选择，使得该模型
产生的这些样本数据概率最大

MLE的初衷就是选择 θ，使得该模型产生的这些样本数据概率最大

而后者属于贝叶斯派，认为参数也是服从某种概率分布的，已有的数据只是在这种参数的分布下产生的。所以，直观理解上，极大似然估计就是假设一个参数 θ，然后根据数据来求出这个θ. 而贝叶斯估计的难点在于p(θ) 需要人为设定，之后再考虑结合MAP （maximum a posterior）方法来求一个具体的θ：
θ̂ =argmaxθp(θ|X)=argmaxθp(θ)∏i=1np(xi|θ)
同样取对数：
θ̂ =argmaxθlnp(θ|X)=argmaxθ[lnp(θ)+∑i=1nlnp(xi|θ)]
朴素贝叶斯就是MAP的一个应用
由于朴素贝叶斯是一个生产模型，用来做分类器使用。
假设总共的类别是{Ck}类，那么假设一封邮件判断它是不是垃圾邮件,Ck={0,1}
0代表正常邮件，1代表垃圾邮件。
假设一封邮件X={x(1),x(2),x(3)....x(n)}
先验概率：
朴素贝叶斯假设条件独立这样就可以概率相乘：
P(X=x|Y=ck)=∏nj=1P(X=x(1),X=x(2)...X=x(n)|Y=ck)
=∏nj=1P(X=x(j)|Y=Ck)

根据贝叶斯公式：
P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A)

邮件分类：
这封邮件是ck类的概率
P(Y=Ck|X=x)=P(Y=Ck)∏P(X=xi|Y=Ck)P(X)=P(Y=Ck)∏P(X=xi|Y=Ck)∑kP(Y=Ck)∏P(X=xi|Y=Ck)
P(X)就是X集合的联合概率分布
y1是指正常邮件的概率；要y2是指垃圾邮件的概率
y1=P(Y=0)∏P(X=xi|Y=0)P(Y=0)∏P(X=xi|Y=0)+P(Y=1)∏P(X=xi|Y=1)

y1=P(Y=1)∏P(X=xi|Y=1)P(Y=0)∏P(X=xi|Y=0)+P(Y=1)∏P(X=xi|Y=1)
分母是相同的 所以只需要比较分子，哪个大分到哪一类。

P(Y=0)=∑I(y=0)N 正常邮件占总共邮件N的比值。
P(X=x|Y=0)=∏nj=1P(X=x(j)|Y=0)=∏nj=1∑I(X=x(j),y=0)∑I(Y=0)
上面这俩式其实式最大似然估计的结果。
所以朴素贝叶斯是MAP和极大似然估计的结合（类别(θ)参数估计是MAP,最大似然估计出p(Y=ck),p(X=xi|Y=ck)）。
所以极大似然估计与贝叶斯估计最大的不同就在于是否考虑了先验，而两者适用范围也变成了：极大似然估计适用于数据大量，估计的参数能够较好的反映实际情况；而贝叶斯估计则在数据量较少或者比较稀疏的情况下，考虑先验来提升准确率。