12.1 省选训练总结

题目

• 点分治

完成情况 题目 出处 Tree POJ 1741 权限题 Race BZOJ 2599 [IOI2011] AC 聪聪可可 BZOJ 2152 AC D Tree HDU 4812 Amaz1ng Prime CDOJ 1562 采药人的路径 BZOJ 3679 Attack and Defence Osipovsky Cup 2014

• Splay

完成情况 题目 出处 AC 普通平衡树 BZOJ 3224 Tyvj 1728 AC 宠物收养所 BZOJ 1208 [HNOI2004] Book 书架 BZOJ 1861 [ZJOI2006] 永无乡 BZOJ 2733 [HNOI2012] Army Formations HDU 6133 AC 文艺平衡树 BZOJ 3223 Tyvj 1729 Cards Sorting Codeforces 830B (#424)

点分治：

点分治通常是来解决那些在树上统计路径的问题，比如说统计有多少条长度为K的路径等等。如果用暴力，那么复杂度就是n2×g（n），其中g（n）是求lca的复杂度。那么哪怕用tarjan，这个总的复杂度也是n2的。这时候我们需要用到点分治。那么对于一棵树，我们先找到它的重心，然后再以重心为根，那么这时路径分为了两类，一类过重心，一类不过，我们只统计过重心的，然后不过重心的递归处理。由于我们是一棵子树一棵子树的处理，就可以用一个数据结构来维护答案，这个结构可以是线段树，平衡树，甚至是桶。这步只要做到nlogn及以下一般就可以。此时总的复杂度再在此基础上乘上logn。

例题：

• Tree（poj 1741）：

很明显是点分治，我们先把到重心的距离排个序，此时就可以二分出来有多少条小于K，设有M条，此时可得到总的条数是M2（之所以没除二是因为这道题把A−>B与B−>A算成了两条路径，如果题上求路径时把A−>B与B−>A算成一条路径，就要除二）。但是这样子会多算，会有在一颗子树上的两个点被选，所以此时我们应该减去重复的。也很简单，把子树的条数：算出来，然后减掉就可以了。

• bzoj2599 [IOI2011]Race：（IOI的题哦~~~）

他只让你求一条路径，所以我们大可以用一个map，表示当边权和值为K时的最少条数是多少，是哪个点，这样子就可以只要遇到一个点，就看存不存在对应的点，然后更新答案。

• bzoj2152 聪聪可可：

大水题，就只用那个桶记一下。将mod3的余数开一个桶，直接查。

• hdu4812 D Tree：

注意这道题是点权。所以处理时不要忘了乘上重心的值。那么这道题我们扫到一个点N，其点权为Q，那么我们需要查K×inv[Q×重心的值]是否存在。这里inv是指相对于MOD的逆元。（此题MOD是质数，可以先把逆元筛出来）

• CDOJ1562 Amaz1ng Prime:

我们这道题记一个桶，那么tong[i]=tong[1]×tong[i−1]+tong[2]×tong[i−2]+...+tong[i−1]×tong[1]。那么减去重合除以二后就是答案了。这是个卷积，就要用FFT。

• bzoj3697 采药人的路径：

首先，如果到这个点的路上有0点，并且这个点有匹配，那么就是可行的。所以，基于此，我们这样分类：如果到这点是0。那么如果路上没有0点，那么就可以其他0匹配。如果有，自己到重心还有一条。如果到这点不是零。如果没0点，就只能与有零点的匹配，反之，可以与任意匹配。所以就这样。

• Osipovsky Cup 2014 Kovrov, Sunday, December 21, 2014 Problem A.Attack and Defence / FJOI 2016 某道题

设左括号为1，右括号为−1。一个合法括号序列分成两部分后，左边部分在任意时刻都大于等于0，右边在任意时候都小于等于0。所以，我们就可以这样判断有多少匹配了。

Splay：

（前几题都是基础，见我另一篇博客：传送门）

• bzoj2733 [HNOI2012]永无乡

这是明显的treap啊
这道题主要是如何合并两颗splay，我们可以模仿并查集的按大小合并，每次把小的移到大的上，这样子，做多logn次合并，所以总复杂度就是nlog2n。（平衡树本来的复杂度乘logn）

• hdu6133 Army Formations

一样的，启发式合并。注意加入一个点产生的贡献是(大于等于它的元素数量+1)×它本身的权值。所以我们可以把他加入根后把答案加上(右子树的权值的个数+该结点的cnt)×该结点的权值。然后暴力更新左子树。这样子看似复杂度高，实际上只有nlogn。

• 洛谷3372 【模板】线段树 1

类似线段树打标记。只不过我们在splay的时候，可以把它到root的点暴力拿出来，然后暴力的下放标记。

• Codeforces Round #424 (Div. 1, rated, based on VK Cup Finals) B.Cards Sorting

很简单，用一颗splay模拟，每次先将最小的找出来，splay到root，此时答案就是左子树的size，然后把左右子树互换。