12.9省选训练总结

来源：互联网发布：1962年中印战争知乎编辑：程序博客网时间：2024/06/05 19:23

dp的优化

dp的优化分为这么几大类：

1.数据结构优化
2.决策单调性的优化
3.斜率优化
4.四边形不等式优化
5.矩阵快速幂优化

数据结构优化：

针对1D/1D型的dp，转移方程大概是dp[i]=min/max(dp[j]+g(i,j))，这样子我们可以用数据结构优化。常用的数据结构有线段树，树状数组，平衡树，单调队列等。

单调队列：

形如dp[i]=min(dp[j]+g[j]+f[i])这种式子，即我们可以写成两段完全不相干的式子，然后针对决策，用一个单调队列优化。

例题：

滑窗

找[l,r]的max。
单调队列的裸题，每次先入队，再查答案。
完全背包问题
这个可以做到nv的，具体做法如下：首先完全背包的转移式子是dp[i][j]=max(dp[i−1][j−v∗k]+w∗k)(0<=k<=n[i])
想办法把其分开，假设d=v[i]，a=j/d，b=j，即j=a∗d+b，代入，并用k替换a−k得：
dp[i][j]=maxdp[i−1][b+k∗d]−k∗w[i]+a∗w[i](a–n[i]<=k<=a)，这样子按照余数分类就分开了。
HDU 3401
设dp[i][j]表示第i天有j个股票的最值，然后分别可以得到一些转移，至于优化，我们以买股票为例，dp[i−w−1][k]−APi[i]∗(j−k)=dp[i−w−1][k]+APi[i]∗k−APi[i]∗j（k<j），这个就分离了k，就可以单调队列搞了。
HDU 2490
Dp[i][j]表示在i行j列的答案，转移是dp[i][j]=max(dp[i−1][k]+dis[k−>j])我们对k大于j与k小于j分别讨论，这样子比如大于的话，那么把dis写成前缀和的形式，有dis[k−>j]=sum[j]−sum[k]，这样我们只需要dp[i−1][k]−sum[k]最大的就行了，这个可以单队。至于k>j，反过来再搞一遍就可以了。

线段树，树状数组

雪菜为了能让冬马参加轻音乐同好会，瞒着春希，和冬马见面。为了增进感情，雪菜拉着还没缓过神来的冬马进了游戏厅……游戏要求两名玩家在排成一排的n个石头上跳跃前进，每个石头有一个高度，玩家只能向右跳，并且不能跳向比自己所在位置的石头矮的石头。一个石头在一个玩家跳离后就会消失，并且两个玩家不能同时站在同一个石头上。游戏分数为两个玩家站过的石头的总数。游戏起始，两名玩家都可以任选一个石头作为开始位置（当然不能相同）。由于冬马是挂科专家，雪菜又只有英语好，所以她们两人想请你帮助他们，怎么才能让分数最高。
dp[i][j]表示i到j的最值，转移的话是dp[i][j]=max(dp[u][j])+1(a[i]>=a[u])dp[i][j]=max(dp[i][v])+1(a[j]>=a[v])，然后这样我们可以发现他实际上是查前缀最值，就可以一个树状数组搞定。
将一个由N个非负数组a[i]成的序列划分成若干段，要求每段数字的和不超过M，求【每段的最大值】的和的最小的划分方法，输出这个最小的和。
dp[i]表示i个的答案，转移是dp[i]=dp[k]+max(val[i j])，这样子是n2的，考虑优化。我们注意到这个还是有一定的单调性的，所以可以拿一个单调队列，但是因为max在一直变，所以队头的不一定是最优的，所以我们应该挂一个线段树，查区间最小值。（貌似有点难写）

决策单调性优化:

所谓决策单调性，就是dp在转移的时候，决策点是成段上升的，这样我们就可以用一种来维护，我们每算出一个dp值，就用它来更新他能管的区间，要怎么更新呢，注意到有单调性，所以可以二分来更新。
那么怎么判断是决策点单增呢，就要满足四边形不等式
∀i≤j,w[i,j]+w[i+1,j+1]<=w[i+1,j]+w[i,j+1]

例题

Bzoj 打字
设dp[i]为i的答案，设前缀数组为sc，转移是dp[i]=mindp[j]+(sc[i]−sc[j])2+m;0<=j<i
那么可以证明这个满足四边形不等式，所以就可以用了
虽然大多数决策单调性的题也可以用斜率优化，但是也有不能的，比如下面这道：

Noi 2009
dp方程很好写，是dp[i]=min(dp[j]+|s[i]−s[j]+i−j−1−l|p)
，不是平方，就用不了斜率优化（要是能用，那你怎么展开），但是还是有决策单调性，所以仍然可做。
。

斜率优化：

针对2D/2D的，形如dp[i]=min(a[i]×f[j]+b[i]×g[j])的转移，这种无法分开的转移，我们设f[j]=x,g[j]=y,dp[i]=a所以有a=min(a[i]x+b[i]y)相当于是固定斜率，求截距的最值，这个就是维护一个凸包。

例题：

还是之前那道打字题。
由dp方程可知dp[i]=sc[i]2+m+mindp[j]+sc[j]2−2sc[i]sc[j] ，那么设x=sc[j],y=dp[j]+sc[j]2,a=sc[i]，即求y−2ax=dp[i] 这个直线，然后维护。
维护的步骤是：
1.去掉头部不符合的解。
2.算出dp值。
3.加入dp值。
去掉头部不符合的解的方法是判断斜率，当然也可以直接算。

加入dp值的方法就是维护图像的凸性，设之前的点为n1，再之前的为n2，那么我们要判断新加入的点n，要判断n1n,n2n,n1n2这几条的斜率，实际上可以只判断n2n与n1n的斜率。
通常的题，可以用斜率优化的话，代价是平方。而且大多数决策单调性的题也可以用斜率优化。

例题：

HDU 2993
这个就很裸的维护一个凸包。
Bzoj玩具装箱
设dp[i]表示i的答案，那么转移方程是：dp(x)=min(dp(i)+w[i+1,x]),w[i,j]=(j−i+sum(c)−L)2，那么明显有决策单调性。自然，这道题是平方，所以可以用之前的方法，把它用斜率优化。

四边形不等式：

如果转移是：f[i,j]=min(f[i,k]+f[k+1,j])+w[i,j]，（比如区间dp）
如果对于i≤i′<j≤j′，有w(i′,j)≤w(i,j′)，那么说明w具有区间包含的单调性。
如果对于i≤i‘<j≤j′，有w(i,j)+w(i′,j′)≤w(i′,j)+w(i,j′)，我们称函数w满足四边形不等式。
可以形象理解为两个交错区间的w的和不超过小区间与大区间的w的和。
这个四边形不等式有什么作用呢，我们可以证明，如果满足四边形不等式，那么设s[i,j]为dp[i,j]的决策点，那么有s(i,j−1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)，所以就可以通过这个性质，把本来的转移平摊下来变成n的，相当于是把很多段拼成了一个n。

例题：

用数轴描述一条高速公路，有V个村庄，每一个村庄坐落在数轴的某个点上，需要选择P个村庄在其中建立邮局，要求每个村庄到最近邮局的距离和最小。
我们设dp[i,j]表示i到j全搞好的代价，转移就是dp[i][j]=mindp[i−1][k]+w[k+1][j](k<j)，那么这个w满足四边形不等式，可以优化。

矩阵快速幂优化：

主要是优化线性的递推，而且没有min之类没有可加性的转移。那么就更算递推数列的某一项一样，矩阵乘法就可以了。

例题：

51nod 1033
明显的插头状压dp，那么转移就是线性的，但是情况有点多，我们可以打一个暴力算出所有情况，只有很少。
NOI 07年
那么如果要联通，只用i−5与前面的联通就可以了（不然没机会了），所以我们可以状压连通性，然后转移，但是情况一样很多，所以还是要用爆搜乱搞。最后搜出来只有52种。

另：矩阵乘法的优化:

就是可以证明M的i次方也是M的1次方到M的i−1次方的线性组合，所以转移系数，用向量来乘，优化成n2的（~~好像没什么用~~）。

总结：

对于dp的优化，不同的转移有不同的优化:

1）如果转移可以写成完全分开的部分，可以用单调队列。
2）如果是1D/1D的，可以套一个数据结构。
3）如果有决策单调性（考试时可以打表证明），就二分。
4）如果是2D/2D而且系数较低（一般不超过二次），就可以斜率优化。
5）对于类似区间dp的，考虑四边形不等式。
6）线性递推式用矩阵乘法。

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