网络流(最大流,最小割)基础入门详解
来源:互联网 发布:sql基础教程 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 02:44
网络流基本定义:
源点:有n个点,有m条有向边,有一个点很特殊,只出不进,叫做源点。
汇点:另一个点也很特殊,只进不出,叫做汇点。
容量和流量:每条有向边上有两个量,容量和流量,从i到j的容量通常用c(u,v)表示,流量则通常是f(u,v).
残余网络:r(u,v) = c(u,v) – f(u,v),其中c(u,v) 表示容量,f(u,v)表示流量,r(u,v)表示残量网络
通常可以把这些边想象成道路,流量就是这条道路的车流量,容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的,流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说,可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站,所有“进入”他们的流量和等于所有从他本身“出去”的流量。
网络流的3个性质:
1、容量限制: f[u,v]<=c[u,v]
2、反对称性:f[u,v] = - f[v,u]
3、流量平衡: 对于不是源点也不是汇点的任意结点,流入该结点的流量和等于流出该结点的流量和。
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络流.
最大流问题:
最大流问题,就是求在满足网络流性质的情况下,源点 s 到汇点 t 的最大流量。
问题:给出n个河流,m个点,以及每个河流的容量,求从1到m点的最大流量。
求解思路:
首先,假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量),那么就把这一组流量,或者说,这个流,称为一个可行流
对于这种没有给出流量f的问题,称为零流问题,即所有的流量都是0的流。
(1).我们就从这个零流开始考虑,假如有这么一条路,这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点,并且,这条路上的每一段都满足流量<=容量。
(2).那么,我们一定能找到这条路上的每一段的流量的值当中的最小值flow。我们把这条路上每一段的流量都减去这个flow,一定可以保证这个流依然是可行流,这是显然的,然后再将这条路上的每一段的反向都加上这个flow。
(3).然后将每次的流量都加上flow,这样我们就得到了一个更大的流,他的流量是之前的流量+flow,而这条路就叫做增广路。我们不断地从起点开始寻找增广路,每次都对其进行增广,直到源点和汇点不连通,也就是找不到增广路为止。
(4).当找不到增广路的时候,当前的流量就是最大流,这个结论非常重要。
注意事项:
1.反向边系列:
反向边求法:u->v的反向边f(v,u)=c(v,u)-f(v,u)=c(v,u)+f(u,v);
为什么要求反向边:在做增广路时可能会阻塞后面的增广路,或者说,做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的。但我们是任意找的,为了修正,就每次将流量加在了反向弧上,让后面的流能够进行自我调整。
例如:下边这个例子1位源点,4为汇点
如果我们第一次找的是1->2->3->4这条增广路径可以得到一个可行流为1,执行操作(2)后图形变成了如下:
这时我们再找增广路径,你会发现已经无法从1到达4了,所以这个时候的最大流就是1了,但显然这是错误的,如果我们分别走1->2->3和1->3->4这条路就可以得到一个为2的可行流。
为什么会出现这样的错误呢?
那是因为我们找从1到4的路径是随机的没有任何技巧可言,并不能保证从1到4的某条路就是最大流,但可以确定的是这条路径很可能会破坏其他路径,而破坏的路径可能是构成最大流的其中一条路径。所以这个时候我们要给程序一个后悔的机会,即添加一条反向路径。具体看下边这个过程:
我们在找到1->2->3->4这条增广路径后需要修改原图如下:
这样修改图后,可以发现,这个时候还存在增广路径1->3->2->4,然后修改图如下:
加上之前的1->2->3->4,此时的最大流为2。
那么,这么做为什么会是对的呢?
事实上,当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候,就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给“退”了回去,不走2-3这条路,而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。
如果这里没有2-4怎么办?
这时假如没有2-4这条路的话,最终这条增广路也不会存在,因为他根本不能走到汇点
同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来“接管”。而最终2-3这条路正向流量1,反向流量1,等于没有流。
CODE:
#include <bits/stdc++.h>#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;int Map[210][210];int pre[210];int flow[210];int n,m;int bfs(int s,int t){ queue<int> Q; memset(pre,-1,sizeof(pre)); pre[s] = 0; flow[s] = INF; Q.push(s); while(!Q.empty()){ int index = Q.front(); Q.pop(); if(index == t) break; for(int i=1;i<=m;i++){ if(i!=s && Map[index][i]>0&&pre[i]==-1){ pre[i] = index; flow[i] = min(flow[index],Map[index][i]); Q.push(i); } } } if(pre[t] == -1)///到不了汇点 return -1; else return flow[t];}int Max_flow(int s,int t){ int inc=0,sumflow=0; while(bfs(s,t)!=-1){ inc = bfs(s,t); int k = t; while(k!=s){ int last = pre[k]; Map[last][k] -= inc; Map[k][last] += inc; k = last; } cout<<"曾广:"<<inc<<endl; sumflow += inc; } return sumflow;}int main(){ int u,v,c; while(~scanf("%d %d",&n,&m)){ memset(Map,0,sizeof(Map)); memset(flow,0,sizeof(flow)); for(int i=0;i<n;i++){ scanf("%d %d %d",&u,&v,&c); if(u == v) continue; Map[u][v] += c; } cout<<Max_flow(1,m)<<endl; } return 0;}
最小割
割的定义:设Ci为网络G中一些弧的集合,若从G中删去Ci中的所有弧能使得从源点Vs到汇点Vt的路集为空集时,称Ci为Vs和Vt间的一个割。(注意,必须是删除Ci中的所有边)
最小割:图中所有的割中,边权值和最小的割为最小割。
最小割与最大流的关系
我以下边这个例子来说明最大流和最小割之间的关系:
从1到4,中间经过2,3两节点,问此时的最大流是多少?
首先找一条从1到4的路径[1,2,4],该路径的最大流量是min(2,3)=2,因为[1,2]上面的容量已经被用了,所以路径[1,2,3,4]就行不通了,割去[1,2]后图变成了以下形式:
此时再找从1到4的路径[1,3,4],路径的最大流量是min(3,6)=3.割去[b,t]后,图如下:
此时就不存在从S到t的可行路径了,则结束最大流的查找。此时的最大流是2+3=5,被割的边容量和是2+3=5,即最大流=最小割。从这两个例子我们已经能理解最大流和最小割大体的含义了,也发现最大流的确和最小割是相等的从数值上来看。但只从这两个小例子就证明最大流和最小割相等是绝对不严格的,严格的数学证明可自行百度相关资料。
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