【图论】点分治总结&POJ2114Boatherds题解

点分治

适用问题：

统计一棵树上的路径的问题，因为树上的路径需要一个起点和终点来确定，所以朴素算法的复杂度常常为O(n2)，然而，点分治可以将复杂度降为O(nlogn)。

大体思路：

首先我们引入一个“树的重心”的概念
定义一个点的权值为它的最大子树的大小

权值最小的一个点（或许有多个，但在点分治中并不在意这些）。

有一个很显然的性质：以重心为根，最大子树的大小，必然不大于树中总点数的一半
用反证法可以很容易地证明：
如果某个子树的节点个数大于总点数一半，那么那个节点的权值一定会小于等于总点数的一半，即当前的“重心”的权值并非最小，不符合定义。

这样一来，每次操作我们统计所有与重心相连接的路径，再将重心消除，形成一个森林，再递归操作下去，在logn次操作以内，就会全部化成点。

例题：POJ2114Boatherds
题目大意：给出一颗树，求树上是否存在一条总和为k的路径。

分析：
按照点分治的思路，从每一个（不同树的）重心出发，找一颗子树，存储从重心到达当前点的路径和，询问k-sum是否存在于其他的子树上，若存在，就返回结束。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#include<set>#include<vector>#define SF scanf#define PF printf#define MAXN 10010#define MAXM 10000010using namespace std;vector<int> a[MAXN],p[MAXN];int used[MAXM],times;int sumx[MAXN],sumy[MAXN],foc[MAXN],cnt,n,k,del[MAXN];bool vis[MAXN];int dp(int x,int fa){    vis[x]=1;    for(int i=0;i<a[x].size();i++)        if(a[x][i]!=fa&&del[a[x][i]]!=1)            sumx[x]+=dp(a[x][i],x)+1;    return sumx[x];}int dp0(int x,int fa,int sum){    sumy[x]=sum-sumx[x]-1;    for(int i=0;i<a[x].size();i++){        if(a[x][i]==fa||del[a[x][i]]==1)            continue;        sumy[x]=max(sumx[a[x][i]]+1,sumy[x]);    }    int x1=x;    for(int i=0;i<a[x].size();i++){        if(a[x][i]==fa||del[a[x][i]]==1)            continue;        int ans1=dp0(a[x][i],x,sum);        if(sumy[ans1]<sumy[x1])            x1=ans1;    }    return x1;}void find_foc(){    cnt=0;    memset(foc,0,sizeof foc);    memset(sumy,0,sizeof sumy);    memset(sumx,0,sizeof sumx);    memset(vis,0,sizeof vis);    for(int i=1;i<=n;i++){        if(del[i]==1){            foc[++cnt]=i;            continue;        }        if(vis[i]==0){            dp(i,0);            foc[++cnt]=dp0(i,0,sumx[i]+1);        }    }}bool dfs(int x,int fa,int sum,int rootx){    //if(used.count(k-sum)!=0)    //    return 1;    if(k>=sum&&used[k-sum]==rootx)        return 1;    for(int i=0;i<a[x].size();i++)        if(del[a[x][i]]!=1&&a[x][i]!=fa&&dfs(a[x][i],x,sum+p[x][i],rootx)==1)            return 1;    return 0;}void update(int x,int fa,int sum,int rootx){    if(sum<=k)        used[sum]=rootx;    //used.insert(sum);    for(int i=0;i<a[x].size();i++)        if(del[a[x][i]]!=1&&a[x][i]!=fa)            update(a[x][i],x,sum+p[x][i],rootx);}bool solve(int x){    if(del[x]==1)        return 0;    //used.clear();    //used.insert(0);    used[0]=times;    for(int i=0;i<a[x].size();i++){        if(del[a[x][i]]==1)            continue;        if(dfs(a[x][i],x,p[x][i],times)==1)            return 1;        update(a[x][i],x,p[x][i],times);    }    return 0;}int main(){    //freopen("data.in","r",stdin);    int x,val;    while(SF("%d",&n)!=EOF){        if(n==0)            break;        for(int i=1;i<=n;i++){            a[i].clear();            p[i].clear();        }        for(int i=1;i<=n;i++){            SF("%d",&x);            while(x){                SF("%d",&val);                a[i].push_back(x);                p[i].push_back(val);                a[x].push_back(i);                p[x].push_back(val);                SF("%d",&x);            }        }        SF("%d",&k);        while(k!=0){            memset(del,0,sizeof del);            find_foc();            int flag=0;            while(cnt<n){                for(int i=1;i<=cnt;i++){                    x=foc[i];                    times++;                    if(solve(x)){                        flag=1;                        break;                    }                    del[x]=1;                }                if(flag)                    break;                find_foc();            }            if(flag==0)                PF("NAY\n");            else                PF("AYE\n");            SF("%d",&k);            times++;        }        PF(".\n");    }}