BZOJ 3196: Tyvj 1730 二逼平衡树（一起来码树套树）

来源：互联网发布：linux 毫秒级的 sleep 编辑：程序博客网时间：2024/06/05 14:40

前言：

好久没更博客了，原以为NOIP后就退役了，可是又不想这样轻易离开。最近又在准备二检和学习珂学，11月就这样没了，NOIP游记都没写。总之，一切尽在不言中。下面又开始愉快地吹B了>_<

Description

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一个有序数列，其中需要提供以下操作：
1.查询k在区间内的排名
2.查询区间内排名为k的值
3.修改某一位值上的数值
4.查询k在区间内的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
5.查询k在区间内的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

Input

第一行两个数 n,m 表示长度为n的有序序列和m个操作
第二行有n个数，表示有序序列
下面有m行，opt表示操作标号
若opt=1 则为操作1，之后有三个数l,r,k 表示查询k在区间[l,r]的排名
若opt=2 则为操作2，之后有三个数l,r,k 表示查询区间[l,r]内排名为k的数
若opt=3 则为操作3，之后有两个数pos,k 表示将pos位置的数修改为k
若opt=4 则为操作4，之后有三个数l,r,k 表示查询区间[l,r]内k的前驱
若opt=5 则为操作5，之后有三个数l,r,k 表示查询区间[l,r]内k的后继

Output

对于操作1,2,4,5各输出一行，表示查询结果

Sample Input

9 6
4 2 2 1 9 4 0 1 1
2 1 4 3
3 4 10
2 1 4 3
1 2 5 9
4 3 9 5
5 2 8 5

Sample Output

2
4
3
4
9

HINT

1.n和m的数据范围：n,m<=50000

2.序列中每个数的数据范围：[0,1e8]

3.虽然原题没有，但事实上5操作的k可能为负数

题解

在写题解之前，让我回忆一下我与这道题的故事吧。~~那仿佛是遥远的某一天~~，NOIP前一天，我在洛谷愉悦地刷着板子，突然想试试自己的数据结构水平，就决定去码一题树套树。由于是第一次码，没有经验，就yy了半天，花了一天（还是半天？不记得了）终于码完了。机房的KsCla大佬和lhf大佬也码了这题。然后我发现KsCla码的是线段树套线段树。时间复杂度O(nlog2n)，最后T了几个点（考完NOIP后加了个优化就A了），lhf码的是O(nlog3n)的线段树套treap。由于在第二个操作时无法二分叉查找，所以多个二分。我也码的这个。然而我最后一顿苦改，一直改到NOIP当天上午，依然T了。lhf的zkw线段树A掉了。我不断加底层优化，最后依然T掉。~~我的命是有多苦啊。~~

直接讲作法吧，由于是一道树套树模版题，所以我们考虑树套树（废话）。我们在每个数所在的叶子向上所有的区间的treap中插入这个数。

这个插入是O(nlog2n)的。

对于操作1，我们只需找到区间中比x小的数有几个并+1即可。我们对这个区间分解，在logn个区间的treap中二叉查找，并在线段树中累加即可。

对于操作3，我们和插入一样，找到每个数的位置对应的区间，然后在treap上删除再插入。这里我们要知道删除的是哪个，所以要保存原数。

对于操作4和5，找到对应区间的子区间里treap上的前驱后继，我们找到一堆前驱后继后，再取最值就是答案了。这是显然的。

这几个操作都是带两个log的。

操作2就有些麻烦了，由于多棵treap上不能像权值ST一样二叉下去找第几名是谁，因为每个棵树的值不一样。于是一种更简洁的作法就是二分然后变成第一个问题。这样就多了一个log。在这里，我是将一个区间的所有treap拿出来，然后在上面调用函数查找。这样写有点sb，但是是可行的。

然后这题就做完了。洛谷的老人机过不了，bzoj却过了。bzoj读入有负数，第一次我的快读被卡了QAQ。还有，洛谷明明写着2s却只给1s，搞的我被卡，~~天若有情天亦老，我为洛谷续1秒。~~

一点点总结：我们发现，在以线段树为第一层嵌套数据结构中，包括树套树，线段树上开链表也好，对于单点的操作，要贡献它所在的logn个区间，即更改线段树上对应的节点。对于一段区间的信息询问，则要将其分成logn个区间查询，最后将信息合并集中。构建第二层数据结构时，我们可以直接对包含叶子的节点进行插入；先插入叶子，再合并左右也未尝不可（如有错还请数据结构大神指证）这样就保证了基本的操作是两个log的了。

其实我还发现第一层的线段树只供分治使用，是“虚无的”，只存了进入下一层的指针，每次进入一个需要的地方，通过这个指针进去拿完信息再出来合并。

Code

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <iostream>#include <cmath>#include <cstring>#include <algorithm>#define mmax(a, b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))#define mmin(a, b) (((a) < (b)) ? (a) : (b))#define maxn 50010#define INF 0x7FFFFFFF#define Lg 17using namespace std;int n, m, cnt, tot, num[maxn];struct Treap{    Treap *son[2];    int val;    int fix;    int siz;    inline int Lsiz(){return son[0] ? son[0]->siz : 0;}    inline int Rsiz(){return son[1] ? son[1]->siz : 0;}    inline void Up(){        siz = Lsiz() + Rsiz() + 1;    }}Node[maxn*Lg<<1], *Root[maxn<<2], *P[Lg];inline Treap *NewTnode(int v){    Node[cnt].son[0] = Node[cnt].son[1] = NULL;    Node[cnt].val = v;    Node[cnt].siz = 1;    Node[cnt].fix = rand();    return Node+cnt++;}inline void LRot(Treap *&a){    Treap *b = a->son[1];    a->son[1] = b->son[0];    b->son[0] = a;    a = b;    a->son[0]->Up();    a->Up();}inline void RRot(Treap *&a){    Treap *b = a->son[0];    a->son[0] = b->son[1];    b->son[1] = a;    a = b;    a->son[1]->Up();    a->Up();}void Insert(Treap *&p, int v){    if(!p){        p = NewTnode(v);        return;    }    if(v <= p->val){        Insert(p->son[0], v);        p->siz ++;        if(p->son[0]->fix < p->fix)  RRot(p);    }    else{        Insert(p->son[1], v);        p->siz ++;        if(p->son[1]->fix < p->fix)  LRot(p);    }}void Delete(Treap *&p, int v){    if(p->val == v){        if(!p->son[0] || !p->son[1]){            if(p->son[0])  p = p->son[0];            else  p = p->son[1];        }        else{            if(p->son[0]->fix < p->son[1]->fix){                RRot(p);                Delete(p->son[1], v);                p->siz --;            }            else{                LRot(p);                Delete(p->son[0], v);                p->siz --;            }        }    }    else if(p->val > v){        Delete(p->son[0], v);        p->siz --;    }    else{        Delete(p->son[1], v);        p->siz --;    }}int FindRank(Treap *p, int k){    if(!p)  return 0;    if(p->val < k)  return p->Lsiz() + 1 + FindRank(p->son[1], k);    else  return FindRank(p->son[0], k);}int FindPre(Treap *p, int k, int now){    if(!p)  return now;    if(p->val < k)  return  FindPre(p->son[1], k, p->val);    else  return FindPre(p->son[0], k, now);}int FindSuc(Treap *p, int k, int now){    if(!p)  return now;    if(p->val > k)  return  FindSuc(p->son[0], k, p->val);    else  return FindSuc(p->son[1], k, now);}void Build(int root, int L, int R, int x){    if(x > R || x < L)  return;    Insert(Root[root], num[x]);    if(L == R)  return;    int mid = (L + R) >> 1, Lson = root << 1, Rson = root << 1 | 1;    Build(Lson, L, mid, x);    Build(Rson, mid+1, R, x);}int QueryRank(int root, int L, int R, int x, int y, int k){    if(x > R || y < L)  return 0;    if(x <= L && y >= R)  return FindRank(Root[root], k);    int mid = (L + R) >> 1, Lson = root << 1, Rson = root << 1 | 1;    int temp1 = QueryRank(Lson, L, mid, x, y, k);    int temp2 = QueryRank(Rson, mid+1, R, x, y, k);    return temp1 + temp2;}void Search(int root, int L, int R, int x, int y){    if(x > R || y < L)  return;    if(x <= L && y >= R){        P[++tot] = Root[root];        return;    }    int mid = (L + R) >> 1, Lson = root << 1, Rson = root << 1 | 1;    Search(Lson, L, mid, x, y);    Search(Rson, mid+1, R, x, y);}int QueryX(int root, int L, int R, int x, int y, int k){    tot = 0;    Search(root, L, R, x, y);    int l = 0, r = 1e8 + 1;    while(l + 1 < r){        int mid = (l + r) >> 1, res = 0;        for(register int i = 1; i <= tot; i++)  res += FindRank(P[i], mid);        if(res < k)  l = mid;        else  r = mid;    }    return l;}void Update(int root, int L, int R, int x, int k){    if(x > R || x < L)  return;    Delete(Root[root], num[x]);    Insert(Root[root], k);    if(L == R)  return;    int mid = (L + R) >> 1, Lson = root << 1, Rson = root << 1 | 1;    Update(Lson, L, mid, x, k);    Update(Rson, mid+1, R, x, k);}int QueryPre(int root, int L, int R, int x, int y, int k){    if(x > R || y < L)  return -INF;    if(x <= L && y >= R)  return FindPre(Root[root], k, -INF);    int mid = (L + R) >> 1, Lson = root << 1, Rson = root << 1 | 1;    int temp1 = QueryPre(Lson, L, mid, x, y, k);    int temp2 = QueryPre(Rson, mid+1, R, x, y, k);    return mmax(temp1, temp2);}int QuerySuc(int root, int L, int R, int x, int y, int k){    if(x > R || y < L)  return INF;    if(x <= L && y >= R)  return FindSuc(Root[root], k, INF);    int mid = (L + R) >> 1, Lson = root << 1, Rson = root << 1 | 1;    int temp1 = QuerySuc(Lson, L, mid, x, y, k);    int temp2 = QuerySuc(Rson, mid+1, R, x, y, k);    return mmin(temp1, temp2);}int Read(){    int x = 0, f = 1;  char ch = getchar();    while(ch > '9' || ch < '0'){if(ch == '-')  f = -1;  ch = getchar();}    while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';  ch = getchar();}    return f * x;}void Print(int x){    if(x < 0)  putchar('-'), x = -x;    if(x > 9)  Print(x / 10);    putchar(x % 10 + '0');}int main(){    n = Read();  m = Read();    for(register int i = 1; i <= n; i++)  num[i] = Read();    for(register int i = 1; i <= (n<<2); i++)  Root[i] = NULL;    for(register int i = 1; i <= n; i++)  Build(1, 1, n, i);    int op, l, r, k;    for(register int i = 1; i <= m; i++){        op = Read();        if(op == 1){              l = Read();  r = Read();  k = Read();            Print(QueryRank(1, 1, n, l, r, k) + 1);            putchar('\n');        }        else if(op == 2){            l = Read();  r = Read();  k = Read();            Print(QueryX(1, 1, n, l, r, k));            putchar('\n');        }        else if(op == 3){            l = Read();  k = Read();            Update(1, 1, n, l, k);            num[l] = k;        }        else if(op == 4){            l = Read();  r = Read();  k = Read();            Print(QueryPre(1, 1, n, l, r, k));            putchar('\n');        }        else{            l = Read();  r = Read();  k = Read();            Print(QuerySuc(1, 1, n, l, r, k));            putchar('\n');        }    }    return 0;}

后记

以后要勤更博客，嗯，就这样。

这里写图片描述

~~我永远喜欢珂朵莉~~

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1 0