高级算法题目，动态规划解

标签（空格分隔）： 高级算法,动态规划

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consider the following optimization problem.

Instance: n positive integers x1<x2<⋯<xn .

Find two disjoint nonempty subsets A,B⊂{1,2,…,n} with ∑i∈Axi≥∑i∈Bxi,such that the ratio ∑i∈Axi∑i∈Bxi is minimized.

Give a pseudo-polynomial time algorithm for the problem, and then give an FPTAS for the problem based on the pseudo-polynomial time algorithm.

解:
将原问题扩展为在A已经有kA,B已经有kB值的情况下,选择two disjoint nonempty subsets,使得
∑i∈Axi+kA≥∑i∈Bxi+kB,such that the ratio ∑i∈Axi+kA∑i∈Bxi+kB is minimized.
可以看的出来变化后的问题比原问题复杂.而原问题就是kA,kB=0的情况
在该问题上很容易写出递推式.
有n个整数x1<x2<⋯<xn,所以在n上递推.记OPT(i,kA,kB)为有前i个整数，且A已经有kA,B已经有kB值的情况下的选择的最优解
对问题解OPT(n,kA,kB)做递推关系推导，分情况讨论。
1. xn不在最优解OPT(n,kA,kB)中
此时OPT(n,kA,kB)=OPT(n−1,kA,kB)
2. xn在最优解OPT(n,kA,kB)中,此时又有两种情况
2.1 xn在A中
此时可以认为A中有xn的情况下,求前n−1个数的原问题的最优解,此时
OPT(n,kA,kB)=OPT(n−1,kA+xn,kB)
2.2 xn在B中
此时可以认为A中有xn的情况下,求前n−1个数的原问题的最优解,此时
OPT(n,kA,kB)=OPT(n−1,kA,kB+xn)
综上可以认为:
OPT(n,kA,kB)=min{OPT(n−1,kA,kB),OPT(n−1,kA+xn,kB),OPT(n−1,kA,kB+xn)}
这就是该问题的递推式.
原问题的答案的形式为OPT(n,0,0),根据动态规划求得该式子即为解

算法复杂度为O(n∗∑nixi∗∑nixi)

下面给出FPTAS
令x′i=xik,其中k=⌊ϵ∗xmaxn⌋,此时算法复杂度为n∗n∗xmaxk∗n∗xmaxk=n5ϵ2

总结

1. 本质上动态规划就是把某个递推公式从前向后展开。所以用动态规划做，第一件事就是要写出递推公式。
2. 而递推的含义本质上就是先计算出规模更小的问题，然后用规模更小的问题解决规模更大的问题。
3. 分情况讨论的方法很容易产生递推式.
4. 递推产生的问题可能比原问题复杂，原问题是新问题的子集

附 对背包问题动态规划的理解

记OPT(n,c)为有n个物体，背包容量为c时的最佳解决方案。
很容易产生递推式，分情况讨论:
1.最后一个物体在OPT(n,c)中。即在我们找到的背包问题最佳方案中，最后一个物体被选中，装进了背包里
那么此时，我们只需要解决 前n-1个物体在背包已经装了第n个物体时,应当怎么选择使得价值最大 这个问题。此时背包容量只有c−c(n),而这个问题就是OPT(n−1,c−c(n))。c(n)指最后一个物体的容量
2.最后一个物体不在OPT(n,c)中。也就是最佳解决方案并没有选择最后一个物体.
此时,OPT(n,c)=OPT(n−1,c)

综上，OPT(n,c)=min{OPT(n−1,c−c(n)),OPT(n−1,c)}
所以一个很简单的分类讨论，就可以写出递推式。
然后用动态规划写出递归函数的展开形式，就是背包问题的动态规划方法.

而我在试图通过分类讨论写出上面问题的递推式时，发现必须要解决带kA,kB的更复杂的问题。而原问题是新问题的一个子集。所以很容易通过分类讨论将原问题扩展到更复杂的新问题。

这不经让我想到数理逻辑中证明完全性定理时的情形。有时候要解决问题A,必须首先将问题A扩充为问题B,问题A是问题B的一个子集。然后解决问题B.几何里的辅助线,群里的群作用思想不也是同样的思想吗。