松弛操作的性质

在单源最短路径的求解算法中，往往涉及松弛操作，而松弛操作是证明单源最短路径算法的基石。

• 相关概念
  最短路径：假设从结点u到结点v的最短路径权重为δ(u,v)，那么从结点u到结点v的最短路径定义为任何一条权重ω(p)=δ(u,v)的从u到v的路径p。
  最短路径估计：对于每个结点v来说，我们维持一个属性v.d，用来记录从源结点s到结点v的最短路径权重的上界，称v.d为s到v的最短路径估计。
  前驱结点：对于每个结点v，我们维持一个前驱结点v.π，它表示扫描v.π结点时发现结点v。
  单源最短路径算法进行之前，都必须对最短路径估计和前驱结点进行初始化，伪代码如下：
  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)

for each vertex v \in G.V  v.d=INFTY  v.pi=NILs.d=0

结点的v.d属性和v.π属性发生变化是通过松弛操作完成的，对边(u,v)在O(1)时间内进行松弛操作的伪代码如下：
RELAX(u,v,w)

if v.d>u.d+w(u,v)  v.d=u.d+w(u,v)  v.pi=u

• 松弛操作的性质
  1。三角不等式性质：对于任何边(u,v)∈E，有δ(s,v)≤δ(s,u)+ω(u,v)。
  2。上界性质：对于所有结点v∈V，我们有v.d≥δ(s,v)。一旦v.d的取值达到δ(s,v)，其值将不再变化。
  3。非路径性质：若从结点s到结点v之间不存在路径，有v.d=δ(s,v)=∞。
  4。收敛性质：设结点u,v∈V，如果s⇝u→v是图G中的一条最短路径，且在对边(u,v)进行松弛前的任意时间有u.d=δ(s,u)，则在之后的所有时间有v.d=δ(s,v)。
  5。路径松弛性质：若p=<v0,v1,...,vk>是从源结点s=v0到结点vk的一条路径，且我们对p中所进行松弛的次序为(v0,v1),(v1,v2),...,(vk−1,vk)，则vk.d=δ(s,vk)。
  6。前驱子图性质：对于所有结点v∈V，一旦v.d=δ(s,v)，则前驱子图是一棵根结点为s的最短路径树。