NOIP 2017题解（更新ing）

D1T1：小凯的疑惑

题目：求一个最大的正整数c，使得ax+by=c（其中a,b为互质的两个正整数）没有非负正整数解。

正解：（想要直接数学推导的就去找数竞大佬吧。。。下面说说考试时怎么办——“一猜想+两验证”）

①打表找规律（不急，后面有严格证明）

观察不为-1的所有元素可不完全归纳所求最大的c即ab-a-b。

下面是赛后打表验证的代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {if (!b) {x=1,y=0;return a;}ll d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;return d;}inline bool judge(ll a,ll b,ll c) {ll x,y,d=exgcd(a,b,x,y);if (c%d) return false;x*=c/d,y*=c/d;ll tmp=b/d;x=(x%tmp+tmp)%tmp;y=(c-a*x)/b;return y>=0&&x>=0;}inline ll gcd(ll a,ll b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}int main() {for (int i=1;i<=10;++i) {for (int j=1;j<=10;++j) {if (i==1||j==1||gcd(i,j)>1) {printf("%-3d ",-1);continue;}else {for (int t=1000;t;--t)if (!judge(i,j,t)&&t) {printf("%-3d ",t);break;}}}puts("");}return 0;}

②证明c=ab-a-b原方程没有有非负正整数解：

假设有非负正整数解：

令ax+by=ab-a-b

得x=b-1-(1+y)b/a

已知a,b互质，所以a|b不成立，又因为x为正整数所以a|(1+y)

设y+1=ka（k≥1），x=b-1-kb=(1-k)b-1，因为k≥1，所以x<0，与假设矛盾。

所以假设不成立，c=ab-a-b原方程没有非负正整数解。

③证明ab-a-b是最大的c使原方程没有非负整数解：

假设它不是，设ax+by=ab-a-b+t（t为正整数）。

设t=ap+bq，其中p,q为整数（此处不要求为正）

根据exgcd算法的性质（这一点理解后面就容易了）：设d=gcd(a,b)，由于通解为x=x0+k*(b/d)，y=y0+k*(a/d)），所以一定存在一组解(x,y)其中y>0且-b<x≤0

此处ap+bq=t（a,b互质肯定有解），令q>0且-b<p≤0。

现在观察原方程ax+by=ab-a-b+t=(b-1+p)a+(q-1)b，

因为q>0且-b<p≤0，所以b-1+p≥0且q-1≥0。

所以x=b-1+p，y=q-1即为原方程的一组非负整数解，无论t多大都成立。

证毕，下面给出正解代码（自嘲而已）。

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;typedef long long ll;ll a,b;int main() {//freopen("math.in","r",stdin);//freopen("math.out","w",stdout);cin>>a>>b;cout<<a*b-a-b<<endl;return 0;}

（持续更新ing）