容斥原理——Uva11806-Cheerleaders

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题目大意：给一个 n∗m 的矩形网格放置 k 个相同的石子;有多少种组合。每个方格最多放一个石子，所有石头都要放置完，并且第一行，最后一行，第一列，最后一列都一定要有石子。
求这种情况讨论的话十分麻烦，但是可以考虑间接的求取，比如：求第一行，最后一行，第一列，最后一列都没有石子的情况就很简单，就是组合数 C((m−2)×(n−2),k) 。

而由此可以想到如果设事件A,B,C,D。分别为第一行，最后一行，第一列，最后一列没石子的话。P=A∪B∪C∪D ， S−P 事件即是我们要求的事件。由容斥原理可得：A∪B∪C∪D=A+B+C+D−A∩B−A∩C−A∩D
+A∩B∩C+A∩B∩D+A∩C∩D+B∩C∩D−A∩B∩C∩D 。

容斥原理的集合加减的规律是奇数个集合的析取式是加上。偶数个集合的析取式是减去。

所以问题就变得简单了。就是求上式的集合内的元素数。这笔直接求取答案绝对要简单的多。因为这些集合都是简单的集合。

其次这道题记得要取模。减法取模为了避免结果是负数要先加上mod 再取模。

    #include <iostream>    #include <cstdio>    #include <cstring>    const int mod = 1000007;    const int maxk = 500;    using namespace std;    int C[maxk+10][maxk+10];    void fun()    {        memset(C,0,sizeof(C));        C[0][0] = 1;        for(int i=0;i<=maxk;i++)        {            C[i][0] = C[i][i] = 1;            for(int j=1;j<i;j++)            {                C[i][j] = (C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;            }        }    }    int main()    {        //freopen("in.txt","r",stdin);        //freopen("out.txt","w",stdout);        fun();        int T,cas=1;        scanf("%d",&T);        int n,m,k;        while(T--)        {            int ans =  0;            scanf("%d%d%d",&m,&n,&k);            int C_D = 2*C[(n-1)*m][k];            ans=(ans+C_D)%mod;            int A_B = 2*C[(m-1)*n][k] ;            ans=(ans+A_B)%mod;            int CD = C[(n-2)*m][k];            ans=(ans+mod-CD)%mod;            int AB = C[(m-2)*n][k];            ans=(ans+mod-AB)%mod;            int AC = 4*C[(n-1)*(m-1)][k];            ans=(ans+mod-AC)%mod;            int ABC_ABD = 2*C[(m-2)*(n-1)][k];            ans=(ans+ABC_ABD)%mod;            int ACD_BCD = 2*C[(n-2)*(m-1)][k];            ans=(ans+ACD_BCD)%mod;            int ABCD = C[(m-2)*(n-2)][k];            ans=(ans+mod-ABCD)%mod;            ans = (C[n*m][k]+mod-ans)%mod;            printf("Case %d: %d\n",cas++,ans);        }        return 0;    }

对于求解集合的方法这里用到的是笨方法。刘汝佳白书上有使用二进制来处理ABCD的搭配问题。这也是搭配问题的优秀思路。(我不够优秀)

    #include <iostream>    #include <cstdio>    #include <cstring>    const int mod = 1000007;    const int maxk = 500;    using namespace std;    int C[maxk+10][maxk+10];    void fun()    {        memset(C,0,sizeof(C));        C[0][0] = 1;        for(int i=0;i<=maxk;i++)        {            C[i][0] = C[i][i] = 1;            for(int j=1;j<i;j++)            {                C[i][j] = (C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;            }        }    }    int main()    {        //freopen("in.txt","r",stdin);        //freopen("out.txt","w",stdout);        fun();        int T,cas=1;        scanf("%d",&T);        int n,m,k;        while(T--)        {            scanf("%d%d%d",&m,&n,&k);            int sum =0;            for(int S=0;S<16;S++)            {                int b=0,r=n,c=m;                if(S&1) {r--;b++;}                if(S&2) {r--;b++;}                if(S&4) {c--;b++;}                if(S&8) {c--;b++;}                if(b&1) sum=(sum+mod-C[r*c][k])%mod;                else sum = (sum + C[r*c][k])%mod;            }            printf("Case %d: %d\n",cas++,sum);        }        return 0;    }