[BZOJ2820]YY的GCD（莫比乌斯反演+线性筛）

题目：

我是超链接

题解：

诶这个题眼熟哦，我做过呀！然后无视数据范围交了一发T。。。。弄个O(n)回答的我是不是疯了！
然后这就成了我真正的莫比乌斯反演的入门题！

可以看出如果我们计算出的前缀和，我们就可以用分块优化除法在O(√N+√M)的时间回答每个询问

这个g我们可以用线筛来求

1、如果T为质数g(T)=μ(T/T)=1

2、如果已知g(T)，我们要给T增加一个以前没有过的质因子 pri，计算出g(T*pri)的值，我们分为两种情况：①枚举的质数不是pri，那我们相当于给每个μ(T/p)都又乘了一个质因子，相当于取反；②枚举的质数是pri，正好除掉了这个新来的，那就是累加上μ(T)；综上所述g(T*pri)= μ(T)-g(T)

3、如果已知g(T)，我们要给T增加一个以前出现过的质因子 pri，计算出g(T*pri)的值，我们依然分为两种情况：①枚举的质数不是pri，那至少这个pri的次数>=2，值就变成0啦，相当于对答案没有贡献；②枚举的质数是pri，那我们相当于把这个乘上的数除掉了，那就是类加上μ(T)；综上所述g(T*pri)= μ(T)

当然我们画一通柿子也是可以解决这个问题的，但是画到这个题的份上依然不行

代码：

#include <cstdio>#include <iostream>#define LL long longusing namespace std;const int N=10000000;LL g[N+5];int mu[N+5],pri[N+5],num;bool ss[N+5];void get_mu(){    mu[1]=1;    for (int i=2;i<=N;i++)    {        if (!ss[i])        {            pri[++num]=i;            mu[i]=-1; g[i]=1;        }        for (int j=1;j<=num && pri[j]*i<=N;j++)        {            ss[pri[j]*i]=1;            if (i%pri[j]==0)            {                g[pri[j]*i]=mu[i];                break;            }            mu[pri[j]*i]=-mu[i];            g[pri[j]*i]=mu[i]-g[i];        }    }    for (int i=1;i<=N;i++) g[i]+=g[i-1];}int main(){    get_mu();    int T,m,n,i,j;scanf("%d",&T);    while (T--)    {        long long ans=0;        scanf("%d%d",&n,&m);        if (n>m) swap(n,m);        for (i=1;i<=n;i=j+1)        {            j=min(n,min(n/(n/i),m/(m/i)));            ans+=((long long)(n/i)*(long long)(m/i))*(g[j]-g[i-1]);        }        printf("%lld\n",ans);    }}

结语：

如果科学地设出一个函数，用这个函数来做反演，就比推式子要简单很多。。

如果出现了类似i∗d在分母这样的东西，考虑一下能不能把i∗d看成一个整体，从枚举倍数转为枚举因数。这样往往可以构造出能够线筛的函数，这也是很多反演题目的常见思路。

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